Бас бет Authors Posts by Shingis

Shingis

1850 POSTS 0 COMMENTS

Сандық белгілер белгіленген проекцияларда сыртқы бет кескіні

Сандық проекциялары бар проекцияда кез келген геометриялық бет нүктелері мен қырларының немесе ерекше сызықтарының проекцияларымен анықталады. Көпжақтар төбелерінің және қырларының проекцияларымен беріледі.

Халық шаруашылығында топографиялық беттің жазық кескіні – арнаулы карталар пайдаланылады. Топографиялық карта бойынша мұнай, су құбырлары, электр желілері,темір жолдар мен тас жолдар, түрлі құрылыс жұмыстары жүргізіледі. Топографиялық бетті шартты түрде горизонталь жазықтықтармен қиып, қиылысу сызықтарын кескіндейді. Қиылысу сызықтарын горизонтальдар деп атайды.

Топографиялық бетте жататын сандық белгілері бар нүктелердің проекциялары берілсін (133, а-сурет). Сызба топографиялық беттің бейнесін анықтайды. Бірақ бұл сызбаны пайдалану тиімсіз. Қарастырылатын беттің көрсеткіштерінің  өзгеруі қиын оқылады. Сандық белгісі ең үлкен нүктені (26) өзімен жақын нүктелермен кесінділер арқылы жалғастырайық. Сонда қарапайым көпжақты бет шығады (133, ә-сурет). Топографиялық бет көпжақты бет арқылы жуықтап кескінделеді, яғни көпжақты бетпен алмастырылады (аппроксимацияланады). Әр кесіндінің бойынан сандық белгілері  бірдей нүктелерді межелеп, өзара қосқанда сынық сызық шығады (133, б-сурет). Сынық сызықтарды біртіндеп қисық сызыққа келтіргенде горизонтальдар арқылы топографикалық бет анықталады (133, в -сурет).

Сандық белгілер белгіленген проекциялар. Әдіс ерекшеліктері

Табиғат  байлығын  игеру  үшін  алдын  ала  жоспарпау  мен  зерттеулер    жүргізіледі. Кен  орнының  құрылымын , жер  қойнауындағы  пайдалы  қазбалылардың  пішіні  мен өлшемдерін  анықтау, құрылыс  салу  және  суландыру  жұмыстары  геологиялық , гео-дезиялық  барлаулар  нақты  өлшеулер  мен  геометрияпық  салулар  нәтижесінде   жүргізіледі. Жер  беті  бедері  (рельф)  өте  күрделі  және  оның  өзгеруі  де  әр  түрлі  болады.

Сонымен  қоса  беттің  жасалуының   қандайда  болмасын  заңдылығы  жоқ, яғни  жер  бедерінің   бейнесі  жалпылама  түрде  түсіндіріледі . Пішіндеріне  байланысты  тау , жота, сай, қазан-шұңқыр т.с.с.  болып  бөлінеді.

Құрылыс және маркшейдерлік сызбаларда жер бедері құрылысын кескіндеу үшін екі проекцияны пайдалану қолайсыз, себебі кескінделген тұлғаның көрнекілігі сызбаларға қойылатын кейбір талаптарды қанағаттандыра алмайды. Сондықтан арнайы кескіндер – сандық белгілері бар проекциялар қолданылады.

Проекциясынан кеңістіктегі сол нәрсенің өзіне (анықтаушыларына) дейінгі қашықтығы санмен көрсетіліп, тік бұрыштап проекциялау әдісімен салынған кескінді сандық белгілері бар проекциялар деп атайды. Сандық белгілері бар проекциялар, тік бұрыштап проекциялаудың ерекше жағдайы.

Нүктенің проекциялары.

Кеңістікте горизонталь Н жазықтығы берілген (119, а -сурет). Нөлдік деңгей жазықтығы деп аталатын осы горизонталь орналасқан проекциялар жазықтығына

А, В және С нүктелерін проекциялайық. Жазықтықтағы бір проекциясы бойынша кеңістіктегі нүктенің орны анықталмайды. Сызба қайтымды болуы үшін нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық белгілі болуы керек. Сондықтан проекцияларды белгілегенде әр проекцияның таңбасының жанына нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық (метрмен өлшенеді) көрсетіледі. Нөлдік деңгей жазықтығынан жоғары орналасқан нүктелердің сандық белгілерінің алдына таңба қойылмайды, таңбалары оң деп есептеледі. Ал жазықтықтан төмен орналасқан нүктелердің сандық белгілерінің алдына  - (минус) таңбасы қойылады. Нөлдік деңгей жазықтығында жататын нүктелердің сандық белгілері нөлге тең.

Нөлдік деңгей жазықтығын сызба жазықтығымен беттестіргенде шығатын кескінді план деп атайды (119, ә-сурет). Планда сызықтық масштаб көрсетіледі. Сызықтық масштаб – ұзындық шамасын білдіретін, тең бөліктерге бөлінген түзу сызық. Сызықтың әр бөлігі масштаб бірлігіне тең болады. Ал масштаб бірлігі санмен өрнектеледі. Кеңістіктегі нүктенің орнын анықтау үшін проекциясынан сол нүктенің өзіне дейінгі қашықтықты масштаб бірлігімен өлшейді. Пландағы сандық белгісі бар проекциясы бойынша кеңістіктегі нүктенің орны толық анықталады.Түзудің проекциялары.

Планда түзуді сандық белгісі бар екі нүктесімен кескіндейді. Түзу кесіндісінің сызбасын салу үшін, кесіндіні өзара паралель горизонталь жазықтықтармен қияды да түзумен қиылысу нүктелерін  (3,4,5,6,7) проекциялайды (120 - сурет). Қиюшы горизонтвль жазықтықтардың ара қашықтықтары өзара тең (әдетте 1 м деп есептеледі). Сонда (34), (45), (56), (67) кесінділері өзара тең болады. Осы кесінділердің проекциялары да өзара тең болып шығады. Кесіндінің проекциясының ұзындығы – кесінді табаны (заложение) , ал түзудің бір өлшем бірлікке тең бөлігінің проециясының шамасы дере (интервал) деп аталады.

Сандық белгілері бар проекцияда екі түзудің өзара қалай орналасқанын қосымша проекция жазықтығын пайдаланбай –ақ анықтауға болады. Ол үшін төмендегі ережелерді білу керек.
  1. Егер проекциялары өзара паралель, дерелері тең және сандық белгілері бір бағытта өсіп (кеміп) отырса, мұндай түзулер кеңістікте паралель болады (123, а- сурет).
  2. Планда екі түзудің қиылысу нүктелерінің сандық белгілері бірдей болса, қиылысушы түзулер болады (123, ә-сурет).
  3. Егер сандық белгілері жоғарыдағы толаптарды қанағаттандыра алмаса, онда айқас түзуоер болады (123, б,в - суреттер).
Жазықтықтың проекциялары.

Сандық белгілері бар проекцияларда жазықтықты былайша кескіндейді:

  1. Бір түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы.
  2. Өзара паралель түзулермен.
  3. Қиылысушы түзулермен.
  4. Түзу және жазықтықтың көлбеулік шамасы арқылы.
  5. Жазықтықтың көлбеулік масштабымен.
  6. Жазық фигурамен.

Жазықтықтың горизонталь бағытын, жазықтықтың созылу бағыты деп атайды. Созылу бағытына горизонтальдың оң бағыты қабылданған, яғни жазықтықтың көтерілу бағытымен қарағанда оңға қарай деп есептеледі. Ал басты меридиан мен созылу бағытының арасындағы бұрыш β0  жазықтықтың созылу бұрышы деп аталады. Жазықтықтың созылу бұрышын, сағат тілінің бағыты мен солтүстік меридианнан бастап созылу бағытына дейінгі бұрышпен өлшейді.

Ең үлкен көлбеу сызығы мен горизонталь проекция жазықтығының арасындағы бұрыш, жазықтықтың көлбеу бұрышы деп аталады.

Кесінді табанындағы айырымы бірге тең биіктік өлшемдерінің проекцияларын анықтап, белгілеуді межелеу (градуирование) деп атайды.

Машина графикасы құралдарының перспективалы кескінін құру

Техника мен құрылыста, тұрмыста кездесетін бөлшектерді, бұйымдарды  пішіні жағынан геометриялық денелер немесе геометриялық фигуралардың жиыны деп қарастыруға болады. Көпшілік жағдайда геометриялық денелердің жазықтықпен қиылысуы нәтижесінде пайда болған фигуралар кездеседі. Нәрсенің пішінін анықтау үшін немесе ішкі құрылымын айқындап көрсету үшін де кейбір жағдайда сол денелерді жазықтықтармен шартты түрде қиып көрсетеді.

                Көпжақтар мен  қисық беттерді жазықтықтармен қиюға мысалдар қарастырайық.

                Денелерді жазықтықпен қиыып өткенде, қиюшы жазықтықта қима фигурасы (қима) деп аталатын жазық фигура  пайда болады. Қиюшы жазықтықпен дене бетінің қиылысуынан қима фигурасының кенері шығады. Қима кенерінің пішіні қиылатын беттің пішініне байланысты әр түрлі болуы мүмкін.

                Призманың, пирамиданың жақтары жазықтықпен түзу сызық бойымен қиылысатын болғандықтан, қима фигурасы көпбұрышпен шектеледі.(47-сурет). Көпбұрыштың төбелері –көпжақтардың қырларының жазықтықпен қиылысу нүктелері. Сондықтан қимадағы көпбұрыштың төбелерінің саны, көпжақтың қиылатын қырларының санына тең. Эпюрде қима фигурасын салу үшін, осы нүктелердің проекцияларын тапса жеткілікті.

Көпжақтың жазықтықпен қиылысу фигурасын анықтаудың екі әдісі бар: а)қимадағы көпбұрыштың төбелерін табу.(қырлар әдісі); ә)қимадағы көпбұрыштың қабырғаларын табу (жақтар әдісі). Бірінші әдіс көп жақтардың қырларын түзулеу деп есептеп, түзу менжазықтықтың қиылысу нүктелерін табуға негізделген. Ал екінші әдіс екі жазықтықтың қиылысу сызығын салуға келіп саяды. Кейбір есептерді шығарғанда  екі әдісте қатар қолданылады.

                1-мысал. Фронталь проекциялаушы жазықтықпен қиылған үшбұрышты призманың қима фигурасын салу (48-сурет) үшін призма қырларының қиюшы жазықтықпен қиылысу нүктелерін табу керек. Призманың бүйір қырлары горизанталь проекция  жазықтығына нүктелер түрінде проекцияланады. Сондықтан жазықтықпен призма қырларының қиылысу нүктелерінің  горизанталь проекциялары 1',2',3'. Ал  фронталь проекциялары қиюшы жазықтықтың фронталь ізінде жатады.1",2",3". Екі проекциясы бойынша фигураның профиль проекциясы салынады.

                2-мысал. Фронталь проекциялаушы жазықтықпен қиылған үшбұрышты ипрамиданың қима фигурасын салу (49-сурет).

                Қиюшы жазықтық ß┴V болғандықтан, пирамиданың қырларымен қиылысу нүктелерінің фронталь проекциялары бірден анықталады-1",2,"3." Прокциялық байланыс сызықтарын жүргізіп, олардың горизанталь проекциялары салынады. Ал профиль проекциялары салу реті стрелкалармен көрсетілген.

              

3-мысал. Пирамиданың қима фигурасын анықтау үшін көмекші проекциялау әдісін қолданайық (50-сурет)

Қиюшы жазықтықтың  фронталін көмекші проекциялау бағыты  деп есептейік. Ал көмекші проекция жазықтығының міндетін Н  жазықтығы атқарсын .

                S төбесінің көмекші проекциясын саламыз –S0. Табаны Н жазықтығындағы пирамиданың көмекші проекциясы S ,А',В',С'болып шығады. a жазықтығының көмекші проекциясы a ізі. Ендеше пирамиданың қырларының a жазықтығымен  қиылысуының көмекші проекциялары-10,20,30. көмекші проекциялау бағытына кері проекциялап, пирамиданың қырларының a жазықтығымен қиылысу нүктелерінің горизанталь (1,¢2, ¢3¢) және фронталь (1,¢¢2,¢¢3¢¢) проекциялатын анықтаймыз.

Көлбеген су бетіндегі перспектива

Суретшілерді  көбіне  айнадай  жалтыраған  су  бетіне  шағылысып  түскен  бейнелер  өзіне  тартады . Бұл  шағылушылар  белгілі  бір  заңдылық  бойынша  құрылады .  Негізгі  заң  физика  курсынан белгілі. Су  бетіне  сәуленің   түсу  бұрышы  мен  оның  шағылысу  бұрышы  тең . Осыдан  келіп-  бейненің  су  бетіндегі  шағылысу  нүктесі  одан  нүктедей қашықтықта , бірақ  екінші  жағынан  осы  су  бетіне  перпендикуляр  жатады. 11-1тең 10-1. 11. 10 нүктесінен  шыққан  сәуле  су  бетіндегі  2  нүктесіне  түседі  де  шағылысып,  бақылаушының     көзіне  түседі,  ол 10  нгүктесінің  шағылысуын  1  нүктесіндегі  Z-2  сәулесінің  жалғасында  көреді.  Бұл  құбылыстың  физикалық  схемасы  осындай.

                      Енді   перспиктивадағы   шағылысуды  қарастырып  көрелік .1  және  11  нүктелерде  су  бетіне  жанасатын 20- 1 және 30 - 11  вертикальдарының  шағылысуын  құру  үшін  оларды   созып ,   2 – 1 =20 – 1 және 3 – 11= 30 –11 етіп  алу  жеткілікті.  Қисық  сызықтардың, мысалы,  арканың  шағылысуы  нүктелер  (4, 5, 6)  бойынша  салынады, оның  өзінде  40 - 41 = 41 - 4  және т.б. Егер  қандайда  бір  зат  (суретте  - обелиск) судан  қашықтау  тұрса,  онда  а1  нүктесі  түрінде  алдымен  бұл  заттың  айнадағы  көрінісін  табу  қажет,  бұл  үшін  биіктіктердің  перспиктивалық  масштабы  принципі  қолданылады.  F  қиылысу  нүктесінің   обелиск  негізінің  сызығы  арқылы  n  нүктесінде  20-30 жағалау  сызықтарымен  қиылысқанға  дейін  сәуле  сызық  жүргіземіз.  Бұл  нүктені 1-11  сумен  жанасу сызығына  проектілеп, m  нүктесін  аламызда  одан  F  нүктесіне  қарай  сәуле  сызық  жүргіземіз .  Бұл  сәуле  сызықтың  обилсик  қабырғасынан  түсірілген  перпендиткулярмен  қиылысуы  бізге  а1  нүктесін  береді ,  одан  төмен  қарай  а1  а0-ге  тең  а1   а  көлемін  саламыз.

                  Бұлыттардың  су  бетіне  түскен  беинесі  олар  іс  жүзінде  шексіз  қашықтықта  деген  пайымдау  басшылыққа  алына  отырып  құрылады,  сондықтан  да  олардың  көкжиек   үстіндегі  кез-келген  нүктелерін   көкжиек   астына   төмен   өзгеріссіз  түсіреміз (34,35- сурет).

                   Сөзіміздің    қорытындысында   шағылысудың   кей  бір  живописьтік   ерекшеліктері не  назар  аударамыз  . Шағылысып  түскен  бейне  ешқашан  да  заттың  өзі  сияқты  айқын  болмайды,  өйткені   тіпті  өте  тынық  судың  өзі  де  әр  дайым  қандай  да  бір  тербелістерге  ұшырайды.  Осының  салдарынан  бозғылт  түсті  заттар су  бетінде  бір  шама  қарайып,  ал  қара-қоңыр  түсті  заттар,  керісінше ,

ағарыңқырып   көрінеді,  яғни  натурамен  салыстырғанда  су бетіндегі   бейнеде  тональдық  қатынастар  жақындасады   заттардың  шектері  мен   детальдары  су   бетіне   шағылысып  түск ендет  өзінің  дәлдігі  мен  айқы ндығын  жоғалтып,  бір  шама  күңгірт,  ал  барлық  картина – кеңістігі аздау,  неғұрлым жайпақ  бола түседі.

Қашықтаған кезде заттардың түсі де өзгере түседі,  өйткені олардан шағылысқан түстік сәулелер  ауа ортасы арқылы түрліше енеді:  жылы түстер – қызыл және қызғылт – сары – неғұрлым кедергісіз енеді, ал салқын түстер – көгілдір,  көк – күшті шашырауға ұшырайды (атап айтқанда, аспанның көгілдір түсін де осымен түсіндіруге болады). Алыста тұрған қара – қошқыл түсті заттар көгілдір сияқты болып көрінетінін, өйткені жарықты өте аз шағылыстыратынын, сондықтан олардың бояуы көп дәрежеде атмосфераға әрдайым шашырап кететін өңі салқын түстермен анықталатынын көрсетіп береді.

Жазық айна сәулесі

        Нәрсе  жазықтығында  жатқан  жазық  фигураның  перспективасын  салуды  қарастырайық. (142 - сурет) Фигураның  болашақ  құрылыстың  планы  деп  есептейік . Жобалаушы  болашақ  құрылыстың  өзіндік  ерекшелігін  көрсететіндей  етіп көру нүктесі мен  бейне жазықтығын орналастырады.  Фигураның ішке қарай кіріп бұрыш жасай орналасқан бөлігі перспективада көрінетіндей болсын. Көру нүктесінің табаны ( тұру нүктесі ) арқылы берілген фигураны қамтып өтетін түзулер жүргіземіз.  Осы түзулердің арасындағы бұрыш шамамен  180 – 530  болуы керек. Тік бұрышты проекциясы бойынша перспективасын саламыз.

Перспективалық проекцияны салу үшін тік бұрышты проекциясында дайындық жұмыстарын жасаймыз. Бейне жазықтығын тағайындап, табанын жүргіземіз. Көру нүктесінен бейнеге перпендикуляр жүргізіп бас нүктені белгілейміз.

Тұру нүктесінен фигураның төбелері арқылы түзулер жүргіземіз. Түзулердің бейне табанымен қиылысу нүктелерін белгілейміз. 1, 2, ...6. Бұл нүктелер фигураның төбелері арқылы өткен сәулелік жазықтықтардың бейне табанымен  қиылысу нүктелері. Фигураның қабырғалары өзара паралель түзулер. Олар екі бағытта орналасқан. Осы түзулердің бейнелік іздерін тауып белгілейміз (7, 8,  9 және 10, 11, 12).

Тұру нүктесі арқылы, фигураның қабырғаларына паралель түзулер жүргізіп, түзулердің тоғысу нүктелерін табамыз (Ғ, Ғ1 ).

Перспективалық проекцияларды салуға қажетті дайындық жұмыстары жүргізіліп болды. Енді бейненің табаны мен көкжиек сызығын жүргізейік. Көкжиек сызығына түзулердің тоғысу нүктесі мен бас нүктені саламыз. Бейне табанына түзулердің бейнелік іздерін және сәулелік жазықтықтардың бейне табанымен  қиылысу нүктелерін өлшеп салып бейнелейміз. (Өлшемдер тік бұрышты проекциясынан алынады )

AB, EL, CD түзулерінің тоғысу нүктесі Ғ, сондықтан осы түзулердің бейнелік іздерінен Ғ – ке дейін түзулер жүргіземіз.  Сол сияқты AL, ED, BC түзулерінің бейнелік іздерін Ғ1 тоғысу нүктесімен қосамыз.

Фигураның төбелері арқылы өтетін сәулелік жазықтықтардың бейне жазықтығымен қиылысу түзулерін жүргіземіз. Олар 1, 2, ...6 нүктелерінен бейне табанына тұрғызылған перпендикулярлар. Енді түзулердің проекцияларының бойынан нүктелердің проекцияларын табамыз. Ретімен табылған нүктелерді түзу кесінділерімен қосқанда берілген жазық фигураның перспективасы шығады.

Интерьер перспективасы

Қазіргі реалистік живопись пен графикада көлеңке үлкен роль атқарады. Оларды түрліше орналастыра отырып суретші едәуір дәрежеде өз композициясын ұйымдастырады , өзінің көркемдік ойларын іске асырады. Бейнелеудегі көлеңкелердің сипаты мен бөлінуінің ролі алуан түрлі: олар заттардың рельефін , олардың кеңістіктегі орналасу жайын, ауа райының жай күйін және т. б. береді.

Өз творчествосында көлеңкелерді шебер пайдалана білу және олардың көмегімен өз ойларын еркін бере білу үшін ең алдымен олардың пайда болу заңдарын білу керек.

Табиғи және жасанды жарық кезінде көлеңкелердің пайда болуы түрліше өтеді. Басты айырмашылық табиғи жарық көзі – күн бізден өлшеусіз алыста болғандықтан, оның сәулелері іс жүзінде паралель түсетіндігімен анықталады. Ал жарықтың жасанды көзі жарық түсіп тұрған затқа қатысы жағынан онша алыс орналаспайды да оның сәулелері бізге тарамдалып тарап жатқан сияқты болып қабылданады.

Жасанды   жарық  кезінде  көлеңкелерді   құру   былай  жасалады. Шырағданды   нүкте (S )   деп  қабылдап,  оның  төбедегі,  қабырғалар  мен  едендегі  проекциаларын (S1, ,S2S3 және S4   нүктелерін)  құрамыз.  S  жарық  көзінен  қандай  да  бір  затты  ең   шеткі  нүктесі   арқылы   (мысалы,  картинаның   сол  жағындағы   бұрыш   арқылы)  сәуле  сызықты   сол  сәуле   сызық  проекцясымен  (яғни  S3  нүктесінен  қабырға   бойымен   бара  жатқан   сызықпен)  қиылысқанға  дейін  жүргізе   отырып,  картинадан  түскен  көленкенің  бұрышын   аламыз  (3  нүкте). Бұл  көленкенің  жоғарғы   шегі  алынған  3  нүктеден Р  қиылысу  нүктесіне  кетеді . Суретте  төбедегі  бөренеден, орындықтар  мен  қабырғадағы  картинадан  және  едендегі  тумбочкадан  түскен   көленкелерді  құрудың   алуан  түрлі  варианттары  көрсетілген (33- сурет).

Перспективадағы көлеңкелер

Жарық көзінің орналасуына мысалдар.

Перспективада көлеңке құру, аксонометриядағыдай, жарық көзінің кез –келген нүктесінен алынып құрылады. Жарық көзінің көз нүктесіне қатысты сегіз түрлі орналасуы мен көлеңкесі горизонталь жазықтыққа түсетін екі вертикаль кесінділердің сегіз түрлі орналасуы 22.32 – суретте көрсетілген. Бұл жерде кесінділердің жоғары А және В нүктелерінің көлеңкелері, берілген нүктелер арқылы өтетін горизонталь орналасқан сәуле ізі сияқты табылған. Мысалдар да көрсетілгендей вертикаль түзулердің көлеңкелері көкжиек сызығына ұштасып жатқан нүкте сызық бойына салынған, ал көлеңке ұзындығы, кесіндінің жоғарғы нүктесінен өтетін жарық сәулесі мен көлеңке түсіп тұрған жазықтық пен қиылысып тұрған нүктемен анықталады.

Жарық сәулесінің бағытын бейнеленетін заттың пішініне байланысты және сол затты жарықтандырудағы қалауы бойынша таңдалады. Бірақ көлеңеке түсіру басты мақсат болмағандықтан эстетикалық талаптарға мән беріп, көлеңкені тек заттың пішіні мен пропорцияларын көрсету үшін ғана пайдалану қажет.

Арка мен колонналардан тұратын құрылыстардың көлеңкесін түсіргенде келуші көлеңке қолданылады. Бұл жағдайда жарық сәулелері ойықтардан түсіп, көлеңке – жарық эффектісі тамаша көрінеді.

Перспективалы кескін құрудың негізгі тәсілдері

Перспективалық проекцияларды проекциялау  үшін проекциялау аппараты қолданылады.  Проекциялау аппараты жазықтықтар жүйесі мен нүктелерден тұрады. Н – нәрсе жазықтығы (горизанталь жазықтық). Бұл жазықтыққа кескінделетін нәрсе, бейне жазықтығы және қараушы орналасады. Б – бейнежазықтығы немесе бейне , нәрсенің перспективалық проекциясы салынатын жазықтық. Бейне жазықтығы нәрсе жазықтығына перпендикуляр болады. Б – бейне табаны , бейне жазықтығы мен нәрсе жазықтығының қиылысу түзуі. S – проекция центрі немесе көру нүктесі. Бұл нүкте арқылы проекциялаушы сәулелер жүргізіледі. –  тұру нүктесі, көру нүктесінен Н жазықтығына жүргізілген перпендикулярдың табаны (S )- көру нүктесінің биіктігі.

Қалыпты перспективада көру нүктесінің биіктігі 170 – 180 см деп есептеледі. N -  бейтарап жазықтық , көру нүктесі арқылы бейнеге паралллель орналасады. Р – бейненің бас нүктесі, көру нүктесінен бейнеге жүргізілген  перпендикулярдың бейнемен қиылысуынан шығады. δ  - көкжиек жазықтығы , көру нүктесі арқылы нәрсе жазықтығына параллель жүргізіледі. h- көкжиек сызығы , көкжиек жазықтығының  бейнемен қиылысу түзуі   ξ басты сәуле жазықтығы , басты сәуле арқылы өтіп Н  жазықтығына перпендикуляр болатын жазықтық. РР΄ бейненің бас сызығы , бейненің бас нүктесінен бейне табанына перпендикуляр жүргізілген түзу. D ,D1 ара қашықтық нүктелері , көру нүктесінен бейнеге дейінгі қашықтықты білдіретін шамалар РD = P D1.  Бейне жазықтығы әдетте тік орналасады.Перспективалық проекцияда нәрселердің сызықтық және бұрыштық өлшемдері өзгеріске ұшырайды. Нәрселік кеңістіктегі үш бағытта перспективалық масштабтарды қарастырайық. Бейне жазықтығына перпендикуляр орналасқан түзулерді тереңдік масштабымен өлшейді. Бейне табанына паралель түзулер ұзындық масштабпен өлшенеді. Ал нәрсе жазықтығына перпендикуляр түзулерді өлшеу үшін биіктік масштабы қолданылады.

Тереңдік масштабы.

Бейне жазықтығына перпендикуляр түзудің  ( А Р ) бойына ұзындығы  а  болатын  кесінді салайық . (143- сурет) Бейне табанына АБ нүктесінен  а  ұзындығын өлшеп салып  В  нүктесін  белгілейік. Енді   В  нүктесінен     бейнеге    450  бұрыш    жасайтын     түзу   жүргіземіз. Аралық   нүктені   (D) тағайындап  түзудің   BD перспективасын  саламыз  да  түзулердің  қиылысу  нүктесін  белгілейміз. Сонда  ВС= а. Себебі  САВ- тік  бұрышты   үшбұрыш, сүйір   бұрыштары  450. Яғни   катеттері  өзара тең.Берілген  түзудің  бойына  тағы  да бір ұзындығы  а-ға тең  кесінді салатын  болсақ  (СЕ) , қарастырған  әрекет қайталанады. Бірінші, бейне  табанында L  нүктесін  беллгілейміз. А В=+ВL. Екіншісі  LD  түзуінін  салып Е  нүктесін  табамыз . Сонда  АБ С = СЕ = а. Бұл  теңдіктен (LD||  || ВD ) _|_ К  екендігінен  көреміз.

   Бейне  табаны, көкжиек сызығы, бас  нүкте  және  аралық нүкте  берілсін. Тереңдік  масштабын  пайдаланып  нәрсе  жазықтығында  жатқан  А  нүктесінен  бейнеге  дейінгі  қашықтықты анықтайық.

  Шешуі:  А  нүктесі   арқылы  бейне  жазықтығына  перпендикуляр  түзу  жүргіземіз ОР ( 144- сурет). Енді  ОА кесіндісінің  нақты  шамасын табайық. Ол  үщін А нүктесі   арқылы Д1 С  түзуін  жүргіземіз. /_ Д 1 СО = 450. Бұдан ОА  = ОС. Бейне  табанынан  ОС  кесіндісінің  нақты  шамасын  өлшеп,  АО қашықтығын  білеміз.

 Берілуіне  қарай  аралық нүктелердің  сызбада бейнеден тыс болуы мүмкін. Сондықтан бөлшектің  аралық нүктелерді пайдалануға болады. Оның мәні кесіндіні пропорционал бөліктерге бөлу негізделген. Мысалы, D1 / 2 нүктесі Д1 Р кесіндісінің тең ортасы да, О1  нүктесі ОС кесіндісін қақ бөліп тұр, яғни ОО= О1С= ОС/ 2. Бөлшектің аралық нүктелердің  өзара паралель түзулердің тоғысу нүктесі болмайтындығын ескеру керек.

Ұзындық масштабы.

Бейне жазықтығына паралель түзулер  алып , олардың бойына өзара тең кесінділер өлшеп салайық (145- сурет).

Нәрсе жазықтығында жататын  AL , CT  т.с.с. түзулер берілсін. Түзулердің бойынан  ұзындығы  а- ға тең  бірнеше кесінді өлшеп алайық . Ол үшін бейне табанына а  ұзындығын өлшеп салып  ОО1  кесіндісін белгілейміз. Өзара паралель және бейнеге перпендикуляр  ОР, О1Р  түзулерін жүргіземіз. Сонда шығатын АВ = CD кесінділері  перспективалы тең  болып шығады,   АВ = CD = а . Бейне табанына қанша түзу жүргізсек те, олардың ОР және  О1Р түзулерінің  арасындағы бөліктері өзара тең болады.

Перспективалық ұзындық масштаб кез келген тоғысу нүктесіне жүргізілген екі паралель түзудің арасында да сақталады. Мысалы, | CM | = | QT| ; | AB| = | EL|. Ал перспективалық теңдікте қарастырсақ AB= CM = EL= QT= a.

Ұзындық масштабты пайдалана отырып , ара қашықтықтары өзара тең паралель түзулер жүргізейік (146- сурет). Ол үшін бейне табанына паралель кез келген 16 түзуін жүргізіп,  тең бөліктерге бөлеміз 12= 23= т.с.с. Паралель түзулердің  тоғысу нүктесін  ( F) тағайындап белгіленген бөліктер арқылы перспективалы паралель түзулерді  саламыз.Биіктік масштабы.

Нәрсе жазықтығына перпендикуляр түзудің бойына  салынатын масштабты биіктік масштабы деп атайды. Биіктік масштабы қолданып нәрсе жазықтығына перпендикуляр түзулердің өлшемдерін анықтайды.

Бейне жазықтығында АВ _|_Б кесіндісін алайық (147- сурет). Көкжиек сызығының кез келген нүктесін тоғысу нүктесі деп алып ,  кесінді ұштарынан түзулер  ( АР - ВР) жүргізейік. Енді осы түзулердің арасында болатын  ОА – ға  паралель кесінділердің ұзындықтары да а  болатындығы  көрінеді  АО = СВ = ЕL= a .

Бейненің бас нүктесі және аралық нүктелері берілген. Шойын жол бойының көрінісін салу керек .  Бағандардың ара қашықтығы – b , төсем ағаштардың ұзындығы – с ,  ал ара қашықтықтары – а  белгілі болсын .

  Бірінші  бағандардың     перспиктивасын  салайық. Ол  үшін   келесі  бағаннның   тұру  нүктесін  (В) іздеуден   бастайық. Бейнеден  алыстығы  (О  нүктесінен )  болатын b  қашықтықты    бейне  табанына  өлшеп  саламыз (О О7), АР, ОР   түзулерін  жүргіземіз  . Аралық D1  нүктесінен  О7  нүктесіне  жүргізілген ОР – мен қиылысуына В  нүктесін табамыз. АО || ВС кесіндісін саламыз. Келесі  L  нүктесін  табу үшін О7  - ден оңға қарай тағы да b ұзындығын салу керек .  Бірақ ол сызбадан тысқары болатындықтан бөлшектік аралық нүктені қолданайық .  Бөлшектік аралық нүкте ( D1/ 2) үшін  О О7 = b ұзындығы 2b – ға тең. Олай болса  D1/ 2  нүктесінен О7 – ге жүргізілген түзу нүктесін береді . Осындай пайымдай отырып ,  бөлшектік аралық нүктелерді (D1/ 4, D1/ 8)  қолданамызда тағы да қажетті нүктелерді анықтаймыз.

О1 О4 = a болсын. О4 D  түзуін жүргізіп,  оның О1 Р – мен қиылысуының келесі төсем ағаштың  орнын анықтаймыз. Сол сияқты бейне табанында О4 О5  = О5 О6= a т.с.с.  нүктелерді белгілеп , тереңдік масштабымен төсем ағаштардың орндары табылады.

Ұзындық масштабты ескере отырып О3Р, О4Р паралель түзулерін жүргіземіз. Бұл түзулер төсем ағаштардың  ұзындықтарын шектейді.

 

Сыртқы беттер мен қисық сызықтар перспективасы

Сыртқы беттерді сызбада кескіндеу.

Жазық көп бұрыштармен шектелген геометриялық денені көп жақтар деп атайды. Егер көп жақтың барлық төбелері кез келген жағы арқылы жүргізілгшен жазықтықтың бір жағында орналасса, онда оны дөңес көпжақ,  ал барлық жақтары өзара тең және бірдей дұрыс көпбұрыштар болатын көпжақтарды дұрыс көпжақтар деп атайды. Дұрыс дөңес көпжақтардың тек бесеу ғана болатындығын ежелгі грек ғалымдары айтқан. Кейіннен Платон бұл денелерді толық зерттеп, сипаттағандықтан математикада платон денелері деп те аталады (1- сурет).

Тетраэдрдің 4 жағы, 6 қыры, 4 төбесі болады. Октаэдрдің сегіз жағы, 12  қыры , 6 төбесі болады. Гексаэдрдің 6 жағы, 12 қыры, 8 төбесі бар, ал икосаэдрде  20 жақ, 30  қыр, 12 төбе болады. Додекаэдрдің 12 жақ, 30 қыр, 20 төбесі болады.

Тетраэдр, октаэдр және икосаэдрдің әрбір жағы тең қабырғалы үш бұрыштар. Гексаэдр шаршылардан құралады. Додекаэдрдің бір жағы дұрыс дөңес бес бұрыш.

Көпжақтардың проекцяларын салу үшін олардың төбелерін нүктелер, қырларын түзу кесінділері және  жақтарын жазықтық қиындылары  деп  қарастырады.

Қисық беттер.

Қисық беттерді түзудің немесе қисық  сызықтарының кеңістіктергі қозғалу траекториясы деп есептеуге болады. Жалпы  беттердің түрі шексіз  көп және әр  алуан.  Беттерді  берудің және  кескіндеудің көп тараған  түрі  аналитикалық  әдіс .  Берілген  теңдеуді қанағаттандыратын нүктелердің жиыны ,  беттің  кординаттары болу керек.  Сызба  геометрияда  фигуралар гафикалық  тәсілмен  беріледі, сондықтан бетті кеңістіктегі  қозғалған сызықтың барлық орындарының жиыны деп қарастырған тиімді.

Кеңістіктегі қозғалысымен бет жасайтын  сызықты  жасаушы деп, ал жасаушы сырғып отыратын қозғалмайтын сызықтардыбағыттаушылар деп атайды.

Кеңістіктегі m, n сызықтарын қиып өтетін  l жазық қисық сызығы берілсін (18 - сурет). l- жасаушы; m,n- бағыттаушылар; α – параллелизм  жазықтығы. Жасаушы (1) кеңістіктегі α жазықтығына тұрақты параллель бола отырып m және n сызықтары бойымен жылжысын. Сонда 1 сызығының орындарының жиыны бет болады.

Қарастырылған жағдай – бетті алудың кинематикалық тәсілі. Кинематикалық тәсілмен әр алуан беттерді құрастыруға және эпюрде кескіндеуге болады. Беттерді құраушы сызықтардың немесе нүктелердің белгілі бір ретті жиынын қаңқа (каркас ) деп атайды. Берілуіне қарай нүктелік және сызықтық қаңқалар бөлінеді. Беттің пішінін қажетті дәлдік пен анықтауға және әр түрлі есептер шығаруғ мүмкіндік беретін нүктелер немесе сызықтар (қаңқа) таңдап алынады.

Сызбада бетті толық анықтауға мүмкіндік беретін геометриялық элементтердің және шарттардың жиыны беттің анықтаушысы болады. Беттің екі бөлек анықтаушысы бар. Біріншісі – анықтаушының геометриялық бөлігі, екіншісі – анықтаушының алгоритмдік бөлігі. Анықтаушының геометриялық бөлігі бетті жасаушы фигуралардан тұрады. Бетті алудың барысындағы жасаушылардың қозғалысының заңдылығын сипаттп беру алгоритмдік бөлікке жатады. Әр түрлі анықтаушының геометриялық бөлігімен бір ғана бет алынуы мүмкін. Мысалы, конустық бет осьпен қиылысқан жасаушының ось төңірегінен айналғандағы ізі немесе центрі ось бойымен жылжитын, оське перпендикуляр диаметрі бір қалыпты кемімелі шеңбердің орны.

Сызбаның қайтымдылығы ғана емес, оның көрнекілігі де сызба геометриядағы негізгі талаптардың бірі. Беттерді проекциялары мен белгілегенде, қайтымдылық және көрнекілік шарттарының қанағаттандырылуы ескеріледі. Басты анықтаушылардың графикалық кескінделуі (проекциялануы) сызбаның қайтымдылығын қамтамасыз еткенімен, көрнекі бола алмайды. Сондықтан көпшілік жағдайда сызбада бетті анықтаушы нүктелер мен түзулер қоса әлпетін (очерк) кескіндейді. Әдетте беттің проекциясы деген түсінікке беттің әлреті және анықтаушы геометриялық элементтер қоса кіреді. Мысалы, кез келген бет берілген (19- сурет). В жазықтығына паралель проекциялайық. Берілген бетке жанама болатын проекциялаушы түзулер, сол бетті қаусыра орап, өтетін проекциялаушы бетті (α) құрайды. l сызығы қаусырма проекциялаушы беттің берілген бет пен жанасу сызығы кенер (контур) деп аталады. Қаусырма проекциялаушы беттің проекция жазықтығымен қиылысу әлпетін береді. Беттің әлпеті сол беттің жазықтығы көріну шекарасы. Қисық беттер жасаушыларының пішініне және жасалу ерекшеліктеріне байланысты бірнеше топқа бөлінеді:

  1. Түзу сызықты қисық беттер.

2.Айналу беттері.

3.Бұранда беттер.

4.Дүркіндік (циклдық) және топографиялық беттер

Сызықты перспективалардың позициялық және метрлік есептері

Нәрсе  жазықтығында  А  нүктесі  берілсін  (138 –сурет) .  Перспективасын  салу  үшін  S  нүктесінен  А  нүктесіне  дейін   проекциялаушы  түзу  жүргізіледі.  Проекциялаушы  түзудің   бейнемен  қиылысуы  А  нүктесін  береді.  А Б  нүктесін  табу  үшін  S′ А  түзуін  жүргіземіз .  Сонда  SS′А   тік  бұрышты  үшбұрыш  шығады. Үшбұрыштың  жазықтығын  сәулелік  жазықтық  деп  атайды.  Сәулелік  жазықтық  горизонталь  проекциялаушы  жағдайда.  Енді осы сәулелік  жазықтықтың  бейнемен  қиылысу  түзуін  табу  керек.  Ол  үшін  S′А  түзуінің  бейне  табанымен  қиылысу  нүктесіне  перпендикуляр  тұрғызып, оның  - мен  қиылысуын  табамыз.   АБ  нүктесі  А  нүктесінің  перспективалық  проекциясы.

Кеңістіктегі С  нүктесінің  перспективасын салайық. Ол  үшін  перспективалық  проекция  центрінен  С  нүктесіне  деиін  проекциялаушы  сәуле  жүргіземіз.  Проекциялаушы  сәуленің  бейнемен  қиылысуы  бірден  табылмайды. Сондықтан қосымша  салулар  жасаймыз :

  • С нүктесін Н  жазықтығына  ортогональ проекцилап  С′  нүктесін  белгілейміз;
  • С′ - пен тұру  нүктесі  S′  арқылы  түзу жүргізейік. Сонда  SS′  С′С   түзулері  горизонталь  проекциялаушы  сәулелік  жазықтықты  анықтайды.
  • Бейнемен SS′ С′С жазықтығының  қиылысу  түзуін  табамыз. Бұл  түзу  S С  проекциялаушы  сәулесімен  қиылысып  СБ  нүктесін  береді.  С Б– С  нүктесінің  перспективасы.

D  нүктесінің перспективасын  салу  үшін  СD  түзуін  жүргіземіз.  Проекциялаушы  СD түзуінің  бейнемен  қиылысуы  жоғарыда  қарастырылған  жолмен  табылады. DБ  -D  нүктесінің  перпективасы  (сурет бойынша  талдау  жасаңыз).

Бейне  табанында В  нүктеі  берілсін . Берілген  нүктенің  перспективасы  осы  нүктенің  өзінде  жатады .Бейне  жазықтығында  жатқан  кез  келген  нүктенің  перспективасы  сол  нүктенің  өзі  болады.

Түзудің  перспективасы  сол  түзудің  бойындағы  кез  келген  екі  нүктенің  перспективасымен  анықталады.  Мысалы,  жоғарыда  қарастырылған  нүктелерді  алайық. АВ  түзуі  нәрсе  жазықтығында  жатыр  және  бейне  жазықтығына  перпендикуляр. Осы  түзудің  шексіз  алыстағы  нүктесінің  перспективасын  табайық  .Ол  үшін  проекция  центірінен  АВ  түзуіне  параллель  көмекші  түзу  жүргіземіз.АВ—Б  болғандықтан  көмекші  түзу  басты  сәулемен  беттесіп. Бейнемен  Р  нүктесінде  қиылысады . Түзудің  бейнеден  шексіз  алыстағы  нүктесінің  перспективасын  түзудің  шекті  нүктесі  деп  атайды . В нүктесі- АВ  түзуінің  бейнелік  ізі(суретте  Вб деп  таңбаланған).Кез  келген  түзудің  перспективасы  оның  бейнелік  ізімен  шекті  нүктесінің  арасындағы  кесінді  болады  СD  түзуі  нәрсе   жазықтығ ына  перпендикуляр.  Жоғарыда  қарастырылғандай,  нүктесінің  перспективасын  салса  жеткілікті  С5 D5-CD   түзуінің  перспективасы.  Нәрсе  жазықтығына  перпендикуляр  түзулердің  перспективасы  бейне  табанына  перпендикуляр  түзу  түрінде  кескінделеді.

Кеңістікте  а  түзуі  берілсін. (139 - сурет).  Берілген  түзудің  бойынан  кез  келген  В  нүктесін  алып,  бейне  жазықтығына  проекциялаиық  Б). Ал  түзудің  бейнелік  табаны – АБ ..АБ –ВБ- а   түзуінің   перспективасын  анқтайды. Енді  түзудің  шеткі  нүктесін  салайық. Ол  үшін  S  нүктесі  арқылы  а –ға  параллель түзу  жүргіземіз.  Көмекші  түзудің  бейнемен  қиылысуы  (FБ)  берілген  түзудің  шекті  нүктесі  болады . Сонымен  түзудің  перспективасы- А БFБ.

Нәрсе  жазықтығында  жататын  а және  b түзулері берілген. (140 - сурет).  Перспективаларын  салу  үшін  бейнелік  табандарымен  шекті  нүктелерді  табу керек.  Шекті  нүктені  табу үшін  көру  нүктесі  арқылы  берілген  түзулерге  параллель көмекші  түзулер  жүргізіледі. Көмекші  түзулердің  бейнемен  қиылысу  нүктелері  олардың  шекті  нүктелері  болады.

Нәрсе  жазықтығындағы  а  түзуін  алайық. Ол  бейне  жазықтығына 450 бұрыш  жасай  орналасқан. (141 - сурет)  Түзудің  перспективасын  салайық .

Ол  үшін   S  көру  нүктесінен  а  түзуі  параллель  түзу  жүргіземіз де D   нүктесін  табамыз  D тік  бұрышты  үшбұрышының SР, РD  катеттері  өзара  тең.  Берілген түзудің  перспективасы АБD  кесіндісі . а  түзуіне  параллель  (бейнеге  450  бұрыш  жасайтын) түзулердің  барлығының  перспективасы  D  нүктесіне  келіп  тоғысады. Гаризанталь  түзулер  дене  жазықтығына  450 бұрышпен  екі  бағытта  жүргізіледі. Сонда  бейненің  бас  нүктесімен  екі  жағында  S Р  ұзындығына  тең  қашықтықта   D және  D1 нүктелері     шығады  . Бұл  нүктелерді  аралық  нүктелер  деп  атайды. Аралық  нүктелерді  пайдаланып көру  нүктесінен  бейнеге  дейінгі  қашықтықтың  шамасын  анықтайды. Сонымен  бейнеге 45 0 бұрыш  жасай  орналасқан  горизонталь  түзулердің  шекті  нүктелері  аралық  нүктелер  болады.

Перспективалы проекциялар. Сызықты перспективалардың геометриялық негіздері

Табиғи көрініс сезімін тудыратындай етіп салынған кескіндері бойынша құрылыстың қандай болатынын, ғимараттардың әсемдік тұрғысынан дұрыс орналасуын алдын ала көруге болады. Мұндай кескіндерді перспективалық проекциялар немесе перспектива деп атайды.

Перспектива сөзі « латынша perspiceze сөзінен алынған» арғы – бергі жақты көруді білдіреді. Перспектива – бақылаушыдан түрлі қашықтықтағы заттарды бейнелеудегі сызықтық құру заңдарын зерттейтін ғылым . Ол нәрселердің табиғаттағы кеңістіктік  пішіндерін көрініп тұрған қалпында бейнелеу заңдылықтарын қарастырады. Перспектива центрлік проекциялау әдісі бойынша орындалады. Кескіндер жазықтыққа,  цилиндрлік немесе сфералық, беттерге де салынады. Перспектива цилиндрлік бетке салынса панорамалық, ал сфералық бетке салынса күмбездік перспектива деп аталады. Жазықтыққа салынған перспективаны сызықтық перспектива дейді.

Перспективаның негізгі екі түрі бар: сызықтық және әуелік. Сызықтық перспектива нәрселердің орналасуына байланысты сызықтық (көлемдік ) өзгеруін сипаттап жазықтыққа кескіндеуді қарастырады.

Сызықтық перспектива заңдылықтарын толықтырған, әуелік перспектива ұғымын енгізген итальян суретшісі, сәулетші, ғалым әрі инженер Леонардо да Винчи ( 1452 – 1519 ) сызбалар жасау теориясына елеулі үлес қосты. Оның өз қолымен орындаған әр түрлі машиналардың , сүңгуір қайықтың, ұшу аппараттарының сызбалары сақталған. Одан кейін итальян және неміс  суретшілері   Пьеро Делла Франческа,  Паоло Учелло,   Альбрехт Дюрер (1471-1528)  және басқалар  өздерінің ғылыми еңбектері  мен  өнер туындыларында  бұрын ашылған заңдарды дамытты . Одан кейінгі  уақытта  кез – келген  затты кез – келген бұрылыста, кез – келген қашықтықта   және қай жақтан  қарағанда  да  жазықтық үстінде  дәл суретін  беруге мүмкіндік жасайтын көптеген  перспективалық  құрылыс әдістері  мен  тәсілдері  талдап  жасалды. Бұл  зерттеулер  кейін проективтік  геометрияны  қалыптастырған  әр түрлі жалпылауларды тудырды.

Дезарг (1593-1662)  перспективаны  геометриядағы ғылыми зерттеудің  жалпы әдісі деп  есептеді.  Ол кеңістіктің  шектеусіз алыстағы нүктелерін  жүйелі түрде қарастырып , соның нәтижесінде,  проективтік кеңістіктің ұғымына келді. Перспективті үшбұрыштар  туралы әйгілі  теореманы  да  сол ғалым  тағайындады,  бұл сөйлем Дезарг теоремасы деп аталады. Дезарг проективтік геометрияның  негізін салушы болып есептеледі.

Понсоле (1788-1867)  жазықтықтың проективтік бейнелеуін бірнеше перспективтік бейнелеулердің көбейтіндісі ретінде қарастырады да , фигуралардың  проективтік  қасиеттерін  проективтік бейнелеулерде инвариант  күйінде қалатын  қасиеттер  ретінде арнайы зерттеп ,  өзге қасиеттерінен  айырып алады.

Г. Монж  (1746-1848)  сызба геометрияның  негізін салушы , Монж әдісінің авторы. Ол өзінің  « Анализдің қолданылуы»  атты лекцияларында  сызықтардан беттердің  құралу  жолдарын зерттейді. Қисықтық сызықтарындағы бет нормальдарының  жайылма бет құрастыратындығы туралы белгілі теореманы  Монж тағайындаған.

Ресейде сызба геометрия  XIX  ғасырдың бас кезінде жеке пән ретінде оқытыла  бастады. Сызба геометрияның алғашқы профессоры  Я. А. Севастьяновтың 1821 жылы ортогональ проекциялау әдісіне арналған « Сызба геометрия негіздері » атты еңбегі жарыққа шықты. Оның бұл еңбегі орыс тілінде  жазылған алғашқы оқулық еді. Монждың «Сызба – техника тілі » деген сөзін жалғастыра келіп, Ресейдегі сызба геометрияның алғашқы авторларының бірі  В. И. Курдюмов « сызба геометрия  бұл тілдің грамматикасы , егер дұрыс жетілген елестету қабілеті болмаса , ешқандай шынайы техникалық шығармашылық жобалау туралы ойлаудың өзі мүмкін емес» деді.

 Әуелік перспектива ара қашықтықтың өзгеруіне байланысты ауа қабатының әсерінен нәрселердің түсінің өзгеруін зәрттейді .  Жарық пен көлеңкенің контрастылық  дәрежесі, заттың көлемділігі, оның нұсқасының анықтығы, түстік бояуы ол сурет салушыдан қашықтаған кезде күрт өзгеріп отырады. Мұның өзі бізді қоршаған ауаның өте мөлдір емес екеніне байланысты : оның құрамында әрдайым шаң – тозаң , ылғал және басқа да өте ұсақ қалқып жүрген бөлшектер болады, олар ауаны бұлдыр ортаға айналдырады. Осы бұлдыр орта өзі арқылы өтетін сәулелерге әсер ете отырып , ол бүркеп тұрған заттарды қабылдауымызды анықтайды . Бізден қашықтай отырып , заттар көзбен көргенде көлемі жағынан ғана кішірейіп қоймайды. Қашықтау дәрежесіне орай олардың  қара – қошқыл және бозғылт жерлерінің контрастылығы барған сайын біртіндеп жұмсарады, заттар неғұрлым жайпақтана түскендей болады да ақырында көкжиекке зорға ажыратылатын силуэттерден тұратын бір реңді мұнарға айналады. Сонымен бір мезгілде олардың түс бояуы да өзгереді. Осы құбылыс ауа перспективасы деп аталады.

Перспектива туралы ғылым даму үстінде, соңғы жылдары классикалық теорияға бірқатар толықтырулар мен өзгертулер енгізілді. Біздің тіршілігімізге енген авиация , бой түзеген зәулім үйлер мен құрылыстар біздің оптикалық қабылдауымызды кеңейтті. Мұның өзі осындай қабылдауларды картинада беру кезінде  перспективаларды құрудың классикалық теориясын пайдалануда кейбір қиындықтарға әкеліп соға бастады. Қазіргі заманғы ғылым мен техниканың жетістіктерімен байланысты туған көптеген сұрақтар мен проблемалар  бірнеше ғасырлар  бойы  міз бақпайтын сияқты болып көрінген  классикалық перспектива теориясының   кейбір қағидаларының нақтыланып, толықтырыла бастауына , ал жекелеген жағдайларда өзгере де бастауына алып келді.

Сонымен , бұл арада баяндалған перспектива теориясының  негіздері қатып қалған догма емес – ғылым да дамып отырады , суретшілер де оны өз жұмыстарына творчествалықпен икемдейді.

Аксонометриялық сызбаға түсірілген көлеңкелер

Ортогональды   проекциялаудың   көлеңкелерін  құру  тәсілін,  аксонометриялы  проекциялардың   көлеңкелерін    құру  кезінде  де  пайдаланамыз.  Сәуле  бағытын  қалаған  бағытта  алуға болады,  бірақ шынайылық  көрініске  сай  болуы  тиіс. Сәуле  бағыты  көрініске  сай  болуы  тиіс. Сәуле бағыты  тым  төмен,  немесе  тым  тік етіп  алуға болмайды,  ең  оңтайлы  бұрыш 300....400   шамасында  болғаны дұрыс. Көлеңкені  ортогональды  проекцияда  сызылған  аксонометриялық   сызбаға  салуға  болады,  ол  сызбада   көлеңке  түсірілген  жағдайда сәуле  бағыттарын  бір-біріне  паралель  аламыз.

                Аксонометриялық   проекциялардың   көлеңкелерін  екіге   бөлуге  болады.  Олар  меншікті  көлеңке  және  түсетін  көлеңке.

                Аксонометриядағы   нүктелердің   көлеңкесін   құру үшін  бірнеше   сәуле  бағыты S-ті  және  оның  екінші  проекциясы, S1   белгілеп  алуымыз  керек. (21.31-сурет). А1А  аксонометрилық  проекциялардың   көлеңкелерін  табу үшін, берілген  S-ке  паралель  сәуле   сызамыз,  ал екінші  А1 проекциясы  арқылы екінші S1  сәуле  бағыты  проекциясына  паралель   жүргіземіз. Сәуле   бағыттарының  қиылысқан  нүктесі  А нүктесінің  көлеңкесі  болады.

                Нүктенің  кеңістікте  орналасуына   байланысты   көлеңкесі  горизонталь  жазықтыққа  түсуі  мүмкін. (21.31  сурет).  Немесе  вертикаль  жазықтықта  орналасуы  мүмкін. (21.32- сурет) немесе  фронтальды  және  профильді   жазықтықта  жатуы  мүмкін.

                Егер А1, нүктесінің   көлеңкесі  қисайған  жазықтықта   жатса  (21.33-сурет). Мысалы  α жазықтығында, онда  көлеңкені  S  сәуле  бағытының   α жазықтығының  қиылысу  нүктесінде  болады.  Ол үшін:

  • S сәуле  бағытын горизонталь  проекциялаушы β жазықтығына  кіргіземіз.
  • MN қиылысу  сызығын  α және  β  жазықтығы мен  табамыз,  сонда  S сәуле  бағытының  MN  қиылысу  сызығымен  қиылысуы А  нүктесінің  α  жазықтығындағы   көлеңкесін  береді.

Кешенді сызбаға көлеңке түсіру тәсілдері

Жазық фигура көлеңкесі.

Жарық үшбұраш пішінде фигураны алып қарастырайық . Үшбұрышты В С жағымен проекцияның горизонталь жазықтығына қойсақ, тамсырманы жеңілдетеміз. Себебі,  нүкте немесе түзу проекция  жазықтығында  орналасқанда , олардың көлеңкелерін іздеудің қажеті жоқ, бұқл жағдайда  олардың өзі  көлеңке болып табылады. Берілген үшбұрыштың көлеңкесінсызу үшін А нүктесінің көлеңкесін табу керек ,  табылған нүктені В және С  нүктелерінің горизонталь проекцияларымен қосамыз. (21.12 сурет).

Белгілі тәртіп бойынша А нүктесінің, проекцияның фронталь жазықтығы  көлеңкесін табамыз. Табылған көлеңкені Na деп белгілеп, В және С нүктелернің  горизонталь жазықтық тағы Na көлеңкесін табамыз ,шамамен кеңістіктің төрттен екінші бөлігінде орналасуы керек.

Табылған нүктені  үшбұрыштың незізі болатын В1С1 нүктелерімен қосуға болады, ал проекцияның осіндегі  қиылысқан жерінде Т0 Т0 сынық сызық көлеңкелерін табамыз. Үшбұрыштың көлеңкесі Na нүктесімен жалғады.

Төртбұрыштың түсетін көлеңкесі.

АВСД төртбұрышы берілген. Төртбұрыштың проекция жазықтығына  түсетін көлеңкесін табу керек.(21.13 сурет).Әр нүктенің көлеңкесін жеке тауып аламыз. В нүктесінің көлеңкесі проекцияның  фронталь жазықтығына Nв нүктесіне түседі, С нүктесінің көлеңкесі де дәл сол  П2  жазықтығына  Nc  нүктесіне   түседі. А  нүктесінің   көлеңкесі   проекцияның

горизонталь  жазықтығына  MA   нүктесіне  түседі, D  нүктесінің   көлеңкесі де дәл  сол горизонталь  жазықтыққа  MD нүктесіне   түседі.

                Бір  жазықтыққа   түскен   нүктелердің    көлеңкесін  бір-бірімен  қосамыз. Мысалы: NC мен  NB   нүктелерін  MA  мен   MD  нүктелерін  қосамыз,  ал әр түрлі  жазықтықта  ажтқан  нүкте  көлеңкелерін қосуға  болмайды.  Сондықтан  АВ және CD   түзулерінің  көлеңкелері ось  проекциясында  сынық   сызық болып   белгіленеді.  Сынық    сызықты  табу  үшін,  рпоекцияның  фронталь  жазықтығын  жоқ деп,  есептеп төртбұрыштың  бар көлеңкесін  П1  жазықтығына  түсіреміз.

                Проекцияның  горизонталь жазықтығының   төрттен  екінші бөлігінде  орналасқан

В және С  нүктелерінің    көлеңкесі  MB    және MC  нүктелерін  табамызда  оларды  А және D  нүктелерінің  проекцияларының  горизонталь  жазықтығындағы  MA және MD   көлеңке   нүктелерімен  қосамыз.

                Түзулердің  ось  проекциясымен   қиылысқан  жерінде  T0T0  сынық  сызық  нүктелерін  белгілейміз. Табылған  нүктелерді  проекцияның  фронталь  жызықтығында  орналасқан   NC және NB  нүктелері  мен  қосамыз.  Сонымен  біз ABCD  төртбұрышының   проекция   жазықтығындағы   толық  көлеңкесін  таптық.

Дөңгелектің  түсетін  көлеңкесі.

Дөңгелектің  түсетін  көлеңкесін  табу үшін,  дөңгелекті  бірнеше   бөлікке  бөліп аламазы. (8 немесе 12).  Әрбір   нүктесінің   көлеңкесін табамыз.   21.14 суретте)  проекциясының фронталь  жазықтығында  орналасқан  дөңгелектің  көлеңкесі  көрсетілген.

                Көлеңкенің  фронталь  жызқтықта  орналасқан   бөлігін табу үшін, дөңгелектің  центрінің   көлеңкесін  тауып,  сол  нүктеден  радиуспен  дөңгелек  сызып  шықсақ,  сол  түсетін  көлеңкенің   контуры  болады. Проекцияның  горизонталь   жазықтығына   түсетін  көлеңке   бөлігі,  эллипс  пішінді  болады.  Бұл жағдайда,  барлық   нүктелердің   көлеңкесін  тауып  алып,  кейін  оларды  лекала   арқылы   бір сыдырғы  қисық  сызықпен  қосу керек.

Конустар, целиндрлер, сфералар сияқты негізгі геометриялық фигуралардың көлеңкесі

Түзу  паралельлипедтің  түсетін  көлеңкесі.

 Проекцияның  горизонталь  жазықтығында орналасқан   түзу  паралельлпипед  берілген. (21.15  сурет). Проекция  жазықтығына   паралельлипипедтің  барлық  түзулерін, қабырғалары  мен қырларына  талдау  жасап алу  қажет. Сонда біз 4D,  перпендикуляры П1;  ДС П1   паралелі;  СB П2 перпендикуляры  және П1 В2  паралелі;  В2 П1  перпендикулярлары  көлеңкесі  түзулері  болатынын  көреміз.

                Демек,   Д,С, В  нүктелерінің   көлеңкелерін  тауып, оларды  4 және 2 нүктелерінің  түбірлерімен қоссоқ  жеткілікті.

                ДС түзуі П1П2 жазықтығына   паралель  болғандықтан,  өзіне  паралель  көлеңке  түсіреді, олар WD  және NC  нүктелері. СВ түзуі, П2  жазықтығына  перпендикуляр  болғандықтан, проекцияның  фронталь  жазықтығына   сәуле бағытымен  көлеңке  түсіреді, ал П1-ге  перпендикуляр, П2   паралель  түзулер проекцияның  горизонталь П1  жазықтығына   сәуле  бағытымен  көлеңке  түсіреді,  ал  проекцияның  фронталь П2  жазықтығы  өз-өзіне  паралель  болады.

Целиндрдің  түсетін  көлеңкесі:

Түзу  паралельпипедтің  принципі  бойынша  жасалады (21.16-сурет),  бірақ 1-4-3 доғасының  көлеңкесі  фронталь жазықтыққа  қисық эллипс  түрінде  түседі,  ол үшін целиндрдің   жоғарғы  жағына  үлкен  мөлердегі  нүктелерінің   көлеңкесін  тауып  алу  қажет.

Конустың  түсетін  көлеңкесі.

Проекцияның  горизонталь жазықтығында  орналасқан  түзу. Домалақ  конустың  түсетін  көлеңкесін   табу  керек. (21.17-сурет).  Бұл жағдайда,  конустың астыңғы  құрылымының  көлеңкесі   болмайды,  енді  тек  конустың ұшар  басының  көлеңкесін  табамыз.  Сонда  S  нүктесінің  көлеңкесі  проекцияның   фронталь  жазықтығындағы   N3 нүктесіне  орналасады,  бұл  нүктені  бастапқы   бөлікпен   қосуға  болмайды,  себебі  ол басқа  жазықтықта  жатыр. Демек, конустың  бүтіндей  көлеңкесін  табу  үшін,  конустың S  шыңының   түсетін  көлеңкесінің  нүктелерін  бастапқы  бөлік  жатқан жазықтықтағы   MS  нүктесін  табу керек. Содан  кейін,  осы  нүктеден  конустың  басты  бөлігіне  жанама  сызықтар  жүргіземіз.  Ол үшін SMS   түзуінде, диаметр  жасағандай  дөңгелек   сызамыз. Дөңгелекте  сызылған көмекші  сызықтар  көлеңкесі  АВ  нүктелерінің  жанамаларын   береді.