Фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық есебін бастапқы градиент әдісінде шешу

Фильтрациялық консолидация теориясында әртекті топырақтардың шөгу процесіне бастапқы градиенттің әсері толық зерттелінбеген. Мысалы М.Ю.Абелевтің [1] жұмысында, бұл есептің шешімі біртекті топырақтар үшін, олардың қаңқаларының жылжи деформамиялануын есепке алмаған жағдайда зерттелінген. Қарастырылып отырған бұл жұмысты осы көтерілген мәселенің практикада жиі кездесетін есебінің бірі – жылжи деформацияланушы әртекті топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық есебін бастапқы градиент әсерінде шешу әдісі келтіріледі.

Есептің математикалық қойылымы.

Есептің математикалық қойылымы К. Терцаги – В.А. Флоин теориясына негізделген. Осы теорияға сәйкес, төмендегідей ұйғарайық:

  • Топырақ қабаты екі компонентті ( топырақ қаңқасы және және сұйықтық) орта.
  • Топырақ қаңқасы Г.Н. Масов –Н.Х. Арутюнянның жылжи деформациялану теориясының В.А. Флориннің интерпретациясын әртекті топырақтар үшін дамыту нәтижесінде келіп шыққан заңдылыққа [2,3]

(1)

(2)

(3)

бағынатын серпімді жылжи деформацияланушы кеуекті орта.

  • Топырақ қабаты осы кеуектер көлемінің өзгеру салдарынан нығыздалады.
  • Топырақ кеуегіндегі судың қозғалысы

(4)

заңдылықпен сипатталады. Мұнда бастапқы градиент.

  • Қарастырылып отырған цилиндр түріндегі топырақ қабатының табан жазықтығы және бүйір беті су өткізбейді, үстіңгі бет жазықтығында су еркін сыртқа ығысып шығады.

Сонда топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық бастапқы – шеттік есебі мына түрде

(5)

(6)

(7)

математикалық өрнектелуі мүмкін. Бұл жерде — белгілі тұрақтылар және функциялар; және — фильтрация коэффициенттері.

Есепті шешу әдістері және есептің шешімі

Қойылған (5) – (7) есептің шешімі екі функцияның қосындысы

(8)

түрінде іздеп, функция үшін қосымша есепке

(9)

ал функция үшін негізгі есепке

(10)

(11)

(12)

ие боламыз.

Қосымша (9) – есепті шешуге өтейік. (9)-дағы теңдеуге (13) қойып

(14)

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі келесі түрге ие

(15)

Енді (13)-ті ескерсек :

(16)

тұрақты ні (9) –дағы екінші шарттан табамыз: .

тұрақты ні (16) –ға қойсақ : Бұл жерден:

тұрақты ті шартынан табамыз. Сонда

Бұл табылғанды алдыңғы өрнекке қойсақ, қосымша есептің шешімін аламыз.

(17)

Негізгі (10)-(12) –ші есепті шешу үшін математикалық физика теңдеулерінің белгілі әдістерінің бірі – меншікті функциялар бойынша жіктеу әдісі н қолданамыз. Нәтижеде бұл негізгі есептің шешімін мына түрде табамыз:

(18)

Бұл жерде

(19)

гипергеометриялық типтегі теңдеуге

деп

түрлендіру енгізуден келіпшыққан канондық түрдегі гипергеометриялық типтегі теңдеудің

бастапқы (11)-ші шартты қанағаттандырушы шешімі; — шеттік шарт (12)-нің соңғы үшіншісін қанағаттандырушы Бессель теңдеуінің

шешімі;функция мына теңдеуге

жаңа айнымалылар және енгізуден келіп шыққан Бессель теңдеуінің

шеттік шарт (12)-нің бастапқы екеуін қанағаттандыратын шешімі;

теңдеуінің шешімі; мына теңдеудің

шешімі; және индексті бірінші және екінші текті Бессель функциялары.

Негізгі есептің шешімі (18)-ді және қосымша есептің шешімі (17)-ні (8)-ге қойсақ (5)-(7) бастапқы шеттік есептің шешімін табамыз:

(20)

Бұл жерде ұмтылғанда, шешімге бастапқы градиенттің әсері елеусіз болатындығын байқаймыз. Сондай-ақ (20) шешімнен дербес жағдайда М.Н. Абелевтің [1] шешімін алу қиын емес.

Әдебиеттер

  1. Цытович Н.А., Зарецкий Ю.Н., Малышев М.К., Абелев М.Ю., Тер-Мартиросян З.Б. Прогноз скорости осадок оснований сооружений –М.: Изд. Лит. По строительству, 1967, 237с.
  2. Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов, решаемых в вырожденных гипергеометрических и тригонометрических функциях Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №5. –С. 47-52.
  3. Ширининкулов Т.Ш., Дасибеков А., Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №2. –С. 34-38.