Коммутативті матрицалық алгебралардың ішкі алгебраларын зерттеген ғалымдар М.Ф.Кравчук, Д.А.Супруненко, З.М.Дымент, Б.Чарлез (B.Charles) және басқалары [2].
Бұл жұмыста және болған жағдайдағы матрицалар алгебрасының коммутативті ішкі алгебраларының құрылымы қарастырылады.
матрицасы коммутативті деп аталады, егер матрицасы табылып мына теңдік орындалса:
және болған жағдайлары үшін бұл теңдіктің орындалатындығын алгебралық жүйелерді құрып, оның шешулерін табу арқылы зерттеуге болады. Бұл жағдайда сәйкесінше 4 және 9 белгісізді теңдеулер жүйесін шешуге тура келеді. Біз жұмыста матрицаны диагоналды матрицаға келтіруді пайдаланамыз.
жағдайы үшін мына ұйғарымның ақиқат болатындығын дәлелдеп көрсетелік.
1 – ұйғарым. алгебрасының максималды коммутативті ішкі алгебрасы болса, онда теңдігі орындалатындай ерекше емес матрица табылып [1], ішкі алгебрасы келесі алгебралардың біріне сәйкес келеді:
Дәлелдеуі. 1. Егер алгебрасында әр түрлі сипаттамалық сандары бар матрицасы бар болсын, яғни матрицаның элементарлық бөлінгіштері және бар болсын. Сонда ерекше емес матрицасының көмегімен матрицасы диагоналді түрге келтіріледі. матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Демек бұл жағдайда: .
- Егер әртүрлі сипаттамалы сандары бар матрицасы табылмаса, бірақ оның екінші дәрежелі элементарлық бөлінгіші бар болсын. Сонда матрицасы төмендегідей түрге келтіріледі:
Бұл жағдайда матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан .
- Жағдай, кез-келген скалярлық матрицасы болса, онда бұл алдыңғы 1 – нің дербес жағдайы болып, максималды ішкі алгебра бола алмайды.
Енді жағдайы үшін мына ұйғарымның ақиқат болатындығын дәлелдеп көрсетелік.
2 – ұйғарым. алгебрасының максималды коммутативті ішкі алгебрасы болса, онда теңдігі орындалатындай ерекше емес матрица табылып, ішкі алгебрасы келесі алгебралардың біріне сәйкес келеді
мұнда – белгіленген параметрлер,
Дәлелдеуі. 1. Егер алгебрасында әр түрлі сипаттамалық сандары бар матрицасы бар болсын, яғни матрицаның элементарлық бөлінгіштері , және бар болсын. Сонда ерекше емес матрицасының көмегімен матрицасы диагоналді түрге келтіріледі. матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Демек бұл жағдайда: .
- Егер әртүрлі сипаттамалы сандары бар матрицасы табылмаса, бірақ оның және элементарлық бөлінгіштері бар болсын. Сонда матрицасы төмендегідей түрге келтіріледі:
.
Бұл жағдайда матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан .
- алгебрасының кез келген матрицасының сипаттамалық сандары бірдей болсын, онда жалғыз үшінші дәрежелі элементар бөлгіші бар болады. Сонда матрицасы мына түрге келеді.
Бұл жағдайда матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан .
- алгебрасының кез келген матрицасының барлық сипаттамалық сандары тең болып, ешқандай матрицаның үшінші дәрежелі элементарлық бөлгіші болмасын және бір матрицасының екінші дәрежелі элементар бөлгіші бар болсын. Сонда, матрицасы мына түрге келеді:
.
Енді мына коммутативті матрицалар жиынын табамыз:
және алгебрасының кез келген матрицаларының сипаттамалық сандары өзара тең және біреу болатындығын ескерсек, онда мына
матрицасы алгебрасына сонда, тек қана сонда тиісті болады, егер болса.
алгебрасынан алынған мына екі матрица:
және
коммутативті болу үшін шарты орындалуы керек. Бұдан мынаны аламыз: .және параметрлері нөлден өзгеше деп есептелінеді, себебі максимал ішкі алгебраны қарастырып отырмыз.
- скалярлық матрицасы болса, онда ішкі алгебрасы максималды бола алмайды.
Резюме
В работе изучается строение коммутативных матричных алгебр второго и третьего порядка.
Summary
In this paper we study the structure of commutative matrix algebra of second and third order.
Пайдаланылған әдебиеттер
- Курош А.Г. Теория групп. Москва. 1967.
- Супруненко Д.А. Перестановочные матрицы. Минск. 1966.