Нақты сандар бар есептер жүйесі – оқушылардың математикалық ұғымдарды меңгерудің басты құралы

Математикалық есептерді мазмұнына, шығару тәсіліне, функциясына, қиындық дәрежесіне қарай классификациялау мәселенің негізгі жағын – есепті шығарушы оқушының іс-әрекетінің сипатын ескермейді.

Барлық математикалық есептер есепті шығарушы оқушы іс-әрекетінің сипатына қарай шығармашылық және жаттығу болып бөлінеді.

Есеп шығару балаларда математикалық ұғымдарды қалыптастыруда олардың бағдарлама анықтап берген теориялық білімді игеруі өте маңызды.

 Жоғарыда көрсетілген анықтамаға байланысты есептер шығару кезінде пайдалануға болатыныны мына мысалдан көрсетейік.

1-мысал. а-ның кез келген мәнінде мына теңсіздіктің тура екенін дәлелдейік:

( а-3)(а-5) < (а-4)2

Теңсіздіктің сол жағы мен оң жағының айырмасын құрып, оны түрлендірейік:

(а-3)(а-5) – (а-4)2 =  а2-3а-5а+15-а2 +8а+16 = -1.

Осы қарастырылып отырған айырма а-ның кез келген мәнінде теріс болады. Сондықтан, а-ның кез келген мәнінде ( а-3)(а-5) < (а-4)2 теңсіздігі тура.

2-мысал. Кез келген екі санның квадраттарының қосындысы бұлардың екі еселенген көбейтіндісінен кем болатынын дәлелдейік.

а және b – кез келген сандар болсын. а2  + b2 ≥ 2аb болатынын дәлелдеу қажет.

Теңсіздіктің сол және оң жақтарының айырмасын түрлендірейік:

( а2 + b2 ) – 2аb = а2 – 2аb + b2 = ( а + b )2 .

Біз ( а2 + b2 ) – 2аb айырмасын бір өрнектің квадраты түрінде жазып көрейік. а және b –нің кез келген мәндерінде ( а – b ) ≥ 0 болатындықтан, а мен b-нің кез келген мәнінде ( а2 + b2 ) ≥ 2аb теңсіздігі тура болады.

Осы тақырыпқа байланысты есептер топтамасы мынадай болуы мүмкін:

№1. Егер p-q айырмасы -5-ке;8-ге; 0-ге тең болса, p және q сандарын салыстырыңдар.

№2. а мен b –ні салыстырыңдар, мұндағы а) а – b = 0,00; б) а – b = 0;

в) а – b = 4,3.

№3. х-тің кез келген мәнінде теңсіздік тура ма:

а) 4х (х+0,25) >(2х+3)(2х-3);

б) (5х-1)(5х+1) <25х2 +2;

в) (3х+8)2 > 3х(х+16);

г) (7х+2х)(7х-2х) <49-х(4х+1)?

№4. 0,1,2,3 сандарының әрқайсысына бірдей k саны қосылған. Осы шыққан сандар тізбегінің шеткі мүшелерінің көбейтіндісін ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісімен салыстырыңдар.

Теңсіздіктердің қарастырылған қасиеттерін пайдалануға мысал келтірейік. Мысал. Қабырғасы а мм тең қабырғалы үшбұрыштың периметрін қарастырайық, 54,2< а <54,3 екені белгілі.

Қабырғасы а болатын тең қабырғалы үшбұрыштың периметрі Р = 3а формуласымен есептеліп шығарылады. 54,2< а және а <54,3 теңсіздіктерінің әрқайсысының екі жақ бөлігін 3-ке көбейтейік және де нәтижені қос теңсіздік түрінде жазайық:

54,2·3 < 3а <54,3·3,

162,6 <3а <162,9

Олай болса, берілген үшбұрыштың Р периметрі 162,6 мм-ден артық, бірақ 162,9 мм-ден кем болады.

Мынадай есептер мысал болсын:

 №1 а < b екені белгілі. Теңсіздіктердің қасиеттерін пайдалана отырып, төмендегі шарт орындалғаннан кейін шығатын тура теңсіздікті жазыңдар, егер:

а) осы теңсіздіктің екі жақ бөлігіне де 4 саны қосылса;

б) осы теңсіздіктің екі жақ бөлігінен 5 саны шегерілсе;

в) осы теңсіздіктің екі жақ бөлігі 8-ге көбейтілсе;

г) осы теңсіздіктің екі жақ бөлігі де -4,8-ге көбейтілсе;

д) осы теңсіздіктің екі жақ бөлігі де -1-ге бөлінсе.

№2. а) Егер 5,1 < а <5,2 болса, қабырғасы а см болатын квадраттың периметрін бағалаңдар.

б) Егер 15,6 < Р <15,8 болса, квадраттың периметрі см-ге тең екенін біле отырып, квадраттың қабырғасын бағалаңдар.

№3. Қайсысы үлкен: а3 + b3 немес а b (а + b), егер а және b -тең емес оң сандар болса?

Математика пәні бойынша білім сапасын көтеруде оқушылардың ойлау қабілетін дамыту қалыптасқан, меңгерілген білімге байланысты. Оқу процеіндегі қажетті оқу материалдарын оқушылардың толық меңгеруі үшін әрбір мұғалім логикалық қағидаларжы қолданудың тиімді жолдарын қарастыруы қажет.Осындай жаттығуларға бөлінген уақыт оқушылардың білімін толықтыруда өз нәтижесін берері сөзсіз.