Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым туралы ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Өлшеулер жүргізу қажеттілігі оң рационал сандарға әкеп соқтырады. Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы «жалған» сандар деп есептеліп, «қарыз» («борыш»), жеткіліксіздік («жетімсіздік») ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана қарастырылып отырған. Мысалы, бұл ережені үнді математиктері ҮІІ ғасырда былай тұжырымдаған: «Екі мүліктің қосындысы мүлік болады, екі қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қосындысы бұлардың айырмасына тең болады». Тек ХҮІІ ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандармен тең праволы сандар ретінде қабылданды.
Бүтін және бөлщек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (бөлгіш нөлден өзге сан болғанда) рационал сандар болып табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді.
Ежелгі Грецияда пифагордың ( біздің заманымызға дейінгі ҮІ ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың диагоналы және оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп атаған.
Бұдан кейінгі уақытта (біздің заманымызға дейінгі Ү-ІҮ ғасырларда) ежелгі грек математиктері толық квадрат болмайтын кез келген натурал n саны үшін санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Европаның математиктері иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең праволы сан ретінде қабылдамаай келген. Оларды қабылдауға Декарттың «Геометриясының» шығуы ықпал жасады.
Әрбір рационал немесе иррационал сан координаттық түзудің бойында нүктемен кескінделеді, және керісінше, координаттық түзудің бойындағы әрбір нүктеге белгілі бір рационал немесе иррационал, яғни нақты сан сәйкес келеді.
Иррационал сандар енділірілгеннен кейін координаттық түзудің бойындағы барлық «бос орындар» толтырылады. Осы қасиетке сүйненіп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынынан айырмашылығы) үздіксіз болып табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (период немесе периодсыз) ондық бөлшек түрінде көрсетуге болады. ХҮІІІ ғасырда Л:Эйлер (1707-1783) мен И.Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетті. Шектеусіз ондық бөлшек негізінде нақты сандар құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар теориясын мазмұндаудың басқаша тәсілдерін неміс математиктері Р. Дедекинд (1831- 1916) пен Г.Кантор (1845-1918) ұсынды.