Несобственные интегралы

Определение 1.   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае , величина несобственного интеграла означает, по определению, площадь бесконечно длинной области , лежащей в координатной плоскости между лучом на оси , графиком и вертикальным отрезком (см.рис. 1).

Рис. 1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область  неограничена), а расходящиеся (в случае )- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально: однако нужно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см.рис. 2).

Рис. 2.

Замечание 1  Для краткости записи, предел подстановки

возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как под подстановкой значения в функцию понимая как раз вычисление предела

Пример 1. Рассмотрим теперь несобственный интеграл    далее имеем:   то есть при . Значит, несобственный интеграл расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения.

Рис.3.

Геометрически это означает, что площадь под графиком , лежащая от 1 до , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция убывает и стремится к 0 при ; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился).

Определение 2. Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интеграла означает нахождение площади бесконечно длинной области , лежащей между осью и графиком , левее вертикальной линии . Условие означает, что  исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, «в минус бесконечность», линию , временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см.рис 4.).

Рис.4.

В интегралах и знаки и называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно «обрезать» несобственный предел некоторым конечным значением (  или  ), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку , а затем устремить в бесконечность конечный предел или . Очевидно, что при изменении направления на оси , то есть при замене , интеграл переходит в равный ему интеграл и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл переходит в равный ему интеграл . Таким образом, все свойства интегралов по промежутку повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку .

Определение 3. Пусть функция определена при всех и интегрируема на любом отрезке . Возьмём произвольное значение (например, ) и будем считать по определению несобственный интеграл   равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам и , то есть   Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точек  и  определение даёт одно и то же, поскольку

Действительно, пусть . Тогда, при любых конечных и мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:

Переходя теперь два раза к пределу, сначала при , а потом при , получаем доказываемую формулу (1).

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл сходится, будем записывать в виде такого неравенства: а то, что интеграл расходится — в виде условной записи (даже если функция не стремится к при ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда при всех ; тогда «равенство» отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь. Аналогичные обозначения будем применять и для интегралов по промежуткам вида и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).

Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке , где , однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к при , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию  она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности как обычный интеграл:

Определение 4. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл   значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать  Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см.рис. 4).

Рис.4.

Площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла .

Замечание 2. Как и в случае несобственных интегралов первого рода, часто понимают вычисление предела подстановки как подстановку с верхним предельным значением :   имея в виду, что подстановка верхнего предела интегрирования означает переход к левостороннему пределу при .

Определение 5. Аналогично интегралу по полуинтервалу от функции с особенностью в точке , определяется несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей особенность в точке полуинтервала :   если существует предел

В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует,- расходящимся.

Замечание 3. Если сделать замену , то несобственный интеграл от функции, имеющей особенность в правом конце промежутка интегрирования, переходит в несобственный интеграл от функции с особенностью в левом конце промежутка, и наоборот (проверьте это утверждение, сделав замену в интеграле , где при ). Поэтому свойства несобственных интегралов второго рода достаточно устанавливать лишь в каком-нибудь одном случае, например, в случае особенности в правом конце промежутка, а свойства интегралов с особенностью функции в левом конце будут получаться очевидными переформулировками.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла

  1. Пусть f(x) определена на множестве от и .

Тогда сходится

  1. Пусть f(x) определена на (a,b] и .

Тогда сходится

Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы

Определение 7. Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если же несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.

Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Определение 8. Неотрицательная функция называется мажорантой для функции на множестве , лежащем в области определения обеих функций, если при всех

Теорема 4. Пусть для функции , интегрируемой на любом отрезке , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл сходится. Тогда несобственный интеграл тоже сходится, и .

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

Пример 4..

интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

Пример 5..

первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

Пример 6.

Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.

Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов

Теорема 1. Пусть фиксировано число и функция интегрируема на любом отрезке , где . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл .

Теорема 2 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Тогда из сходимости интеграла от большей функции, , следует сходимость интеграла от меньшей функции, , причём а из расходимости интеграла от меньшей функции, , следует расходимость интеграла от большей функции, :

Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).

Рис. 5.

Если условие неотрицательности функций и не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять и при всех , то интеграл от большей функции,

оказывается сходящимся (его значение, очевидно, равно 0), а интеграл от меньшей функции,  —  расходится (докажите расходимость, вычислив интеграл и рассмотрев его поведение при ).

При помощи теоремы 2 можем в некоторых случаях исследовать сходимость интеграла, не вычисляя его значения. Для доказательства сходимости интеграла от функции достаточно найти более простую функцию , для которой интеграл легко вычисляется и сходится. Согласно теореме, тогда исходный интеграл тоже сходится, причём мы получаем оценку его величины: . Если же нам нужно доказать расходимость интеграла , то достаточно найти такую (более просто устроенную) функцию , что и интеграл расходится.

Признак сходимости Абеля:

  1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
  2. g(x) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

Признак сходимости Дирихле:

  1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;
  2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.

Эталонные интегралы

Пример 2. Рассмотрим интеграл

Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1) . Тогда интеграл вычисляется так:

поскольку при имеем и

2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .

3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .

Заметим также, что при интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при , поскольку тогда подынтегральная функция не определена при (и тождественно равна 1 при ). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив и получив собственный интеграл

Пример 3. Определим, при каких значениях показателя интеграл

 cходится.  Рассмотрим случай . Тогда

Поскольку при   Значит, при интеграл сходится и имеет значение   Рассмотрим случай . Тогда

 поскольку

(то есть предела не существует) и . Значит, при интеграл расходится.  Рассмотрим случай . Тогда

поскольку при   Значит, при интеграл расходится.  Итак, интеграл сходится (и функция определена и равна ) только при ; при интеграл расходится.

Теорема 3. Если интеграл сходится, то сходится также интеграл причём имеет место неравенство

«Baribar.kz-тің» Telegram-каналына жазыламыз!