Определение токов во всех ветвях цепи методом узловых потенциалов

электротехнике есть наука о техническом (т. е. практическом, прикладном) использовании электрических и магнитных явлений; часто это же наименование дают и соответствующей отрасли техники. Большое значение электротехники для современной промышленно­сти и быта объясняется тем, что средствами электротехники эффектив­но и относительно просто получают и передают электроэнергию (электроэнергетика), преобразуют ее в другие формы энергии — ме­ханическую (электрификация механических процессов), тепловую, химическую, световую (электрификация технологических процессов), а также решают вопросы передачи и преобразования сигналов и информации (электротехника связи). Исключительные перспективы развития электротехники были оце­нены основоположниками марксизма у колыбели этой новой тогда отрасли техники. В 1850 г. К. Маркс, обращаясь к В. Либкнехту, отмечал: «…царствование его величества пара, перевернувшего мир в прошлом столетии, кончилось; на его место станет неизмеримо более революционная сила – электрическая искра. Необходимым след­ствием экономической / революции будет революция политическая, так как вторая является лишь выражением первой». В. И. Ленин еще задолго до Великой Октябрьской социалистической революции в своих работах многократно возвращался, к перспективам электрификации при социализме.

Электрификацией принято называть широкое использование элек­трической энергии в промышленности и в быту.

Характерной особенностью развития электроэнергетики на совре­менном этапе является увеличение мощности отдельных тепловых электростанций до 4—6 млн. кВт с применением турбогенераторов

мощностью 1—1,5 млн. кВт, а также опережающее развитие атомной энергетики, особенно в европейской части СССР, с применением реакторов единичной мощности 1—1,5 млн. кВт.

Относительное   уменьшение   роли   гидроэлектрических   станций объясняется тем, что при их строительстве каждый киловатт установ­ленной мощности обходится дороже, чем на равной по мощности тепловой электростанции. Кроме того, для строительства гидроэлектро­станций требуется больше времени.

Для централизации снабжения народного хозяйства электроэнергией электростанции объединяются в энергетические системы, охватывающие огромные регионы. В настоящее время линии высокого. Энергетическое – объединение «Мир» соединяет электростанции Польши, Чехословакии, ГДР, Вен­грии, Румынии, Болгарии и Львовэнерго, Украинской ССР. Такие объединения дают возможность распределять нагрузку между стан­циями наиболее целесообразно.

Успешное решение электроэнергетических задач позволяет осу­ществить комплексную электрификацию всего народного хозяйства. В настоящее время практически завершилась электрификация сило­вого оборудования промышленности. К началу 11-й пятилетки мощ­ность электрооборудования в промышленности составляла примерно 85 % общей мощности установленного оборудования. В сельском хозяйстве в 1980 г. было израсходовано около 100 млрд. кВт-ч элек­троэнергии. Широким фронтом ведется электрификация железнодо­рожного транспорта. В настоящее время протяженность железных дорог, на которых используется электровозная тяга, составляет более трети их общей протяженности.

На повестку дня выдвигается задача  широкой  электрификации технологических процессов, в которых электрическая энергия не посредственно участвует в обработке предмета труда: электросепара­ция, электросмешивание, электрические методы извлечения металлов из руд и т.д. Электрификация технологических процессов позволяет, во многих случаях упростить многооперационные неэлектрифицированные технологические процессы создает благоприятные условия для автоматизации производства. Однако сдерживающим фактором на пути электрификации технологических процессов является их энерго­емкость. Следовательно, внедрение прогрессивных технологических: процессов требует развития электроэнергетики.

Электрическая энергия нужна не только для совершенствования технологических процессов, но и для получения и преобразования информации 6 процессах. Последнее служит основой разнообразных автоматизированных систем управления технологическими процесса­ми (АСУ ТП). Благодаря успехам приборостроения в современных АСУТП для преобразования информации широко применяются управ­ляющие электронные вычислительные машины.

Постоянно растет расход электрической энергии для электрифи­кации быта и сферы услуг.

Для разрешения противоречия между потребностями народного хозяйства в дешевой электроэнергии и возможностями традиционных способов получения электроэнергии на тепловых и гидравлических электростанциях необходимы коренные изменения принципов ее получения. Известный шаг в этом направлении позволяют сделать атомные электростанции. В перспективе можно ожидать положительных результатов производства электроэнергии на базе МГД-генератора и управляемого термоядерного синтеза.

Даже из приведенного краткого обзора видно, какой большой путь прошла наша страна, осуществляя ленинские идеи электрифика­ции, и какие грандиозные задачи выдвигают перспективы ее дальней­шего развития.

Электрическая цепь

Дано:  Е1 = 40 В;  Е2 = 30 В;

R01 = 0,8 Oм;  R02 = 1,2 Ом;

R1 = R2 = 30 Oм;  R3 = 10 Oм;

R4 = 18 Ом;  R5 = 120 Ом.

Метод  узловых потенциалов

Как было показано, режим любой цепи  полностью характеризуется уравнениями,  составленными на основании первого и второго законов  Кирхгофа,  причем для определения токов всех в ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

В электрической схеме  потенциал одного из узлов  принят равным нулю, т.е.    = 0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

  1. 1. Определим токи методом узловых потенциалов.

     Примем  φС = 0.

φA (g1+g2+g401 ) – φg1 – φBg1 =  E1g401;

Ag1 + φB (g1+g3+g502) – φcg4 = E2g401;

Обратим

R401 = R + r01 =18+0,8 = 18,8Ом.

R502 = R5 + r02 =120+1,2 = 121,2Ом

Расчет проводимости ветвей:

g1=g2=1/R1=1/30= 3,33 * 10-2 Cм;

g3=1/R3=1/10=10*10-2 Cм;

g401=1/R401=1/18,8=5,32*10-2 Cм;

g502=1/R502=1/121,2=0,825*10-2 Cм;

g1+g2+g401=(3.33+3.33+5.32)*10-2=11.98 *10-2См;

g1+g3+g502=(3.33+10+0.825)*10-2=14.155 *10-2См;

E1g401=40*5.32*10-2A;

E2g502=30*0.825*10-2A=24.75*10-2A

Подставим найденное в (1), и сократим оба уравнения на 10-2

 φA *11.98 – φB*3.33 = 212,8;

 -φA *3.33 + φB*14.155 = 24,75;

11.98     -3.33

   ∆ =                                  = 158.488;

-3.33        14,155

212.8     -3.33

А =                                  = 3094.68;

24.75      14,155

11.98     212.8

В =                                  = 1005.77;

-3.33       24.75

Вычисляем потенциалы узлов:  φС = 0.

φA = ∆А / ∆ = 3094,68 / 158,488 = 19,53 В;

φB = ∆В / ∆ = 1005.77 / 158,488 = 6.346 В;

Токи в ветвях определяем по закону Ома.

1 = (φС– φА +E1) g401 = (-19,53 +40)*5,32*10-2= 1.09A;

2 = (φС– φВ +E2) g501 = (-6,346 +30)*0,825*10-2= 0.195A;

АВ = (φВ– φА ) g1 = (6,346 – 19,53)*3,33*10-2= -0.439A;

АС = (φА– φС ) g2 = 19,53*3,33*10-2= 0.65A;

ВС = (φВ– φС ) g3 = 6,346 *0,1= 0.635A;

Правильность расчёта токов проверим по балансу мощностей.

Составим баланс мощностей.

Мощность источников:

Pист=E1I1+E2I2= 40*1.09+30*0,195 = 49,45 Вт

Мощность приёмников:

Pпр=I12R401+ I22R502+ IВС2 R3+ IАВ2 R1+ IАС2 R2=1,092 * 18,8 + +0,1952 *121,2 +0,6352 *10 +0,4392 *30+0,652 *30= 49,43 Вт.

Баланс мощностей соблюдается, т.е.  Pист. = Pпр.  , следовательно, токи рассчитаны верно.

Запишем (1) в матричной форме.

 φ­А  11.98     -3.33            212,8

 φВ   -0.5      -14.155            24,75

Определим токи в ветвях методом наложения

Рассчитаем частичные токи в ветвях от ЭДС Е1.

Для этого рассчитаем схему рис. 1.

I11, I22, I33 – контурные токи.

Составим уравнения по М

 I11(R401+R2) – I22 R2 – I33 *0= E1;

 -I11* R2 + I22 (R1+R2 +R3) – I33 R3=0;

-I11*0- I22 *R3 – I33 (R33 +R502)=0;

R401+R2=18,8+30=48,8 Ом;

R1+R2 +R3=30+30+10=70 Ом;

R3+R502=10+121,2=131,2 Ом;

I11*48,8 – I22*30 – I33*0 =40;          I11*4,88 – I22*3 – I33*0 =4

-I11*30 + I22*70 – I33*10 = 0;           -I11*3 + I22*7 – I33*1= 0;

-I11*0 – I22*10 + I33*131,2 =0;         -I11*0+I22*1–I33*13,12= 0;

4,88     -3     0

∆ =      -3         7      -1= 325,2192;

0         -1     13,12

4       -3    0

11 =    0        7     -1           = 363,36;

0       -1    13,12

4,88   4     0

 ∆22 =      -3      0     -1           = 157,44;

0        0     13,12

4,88    -3    4

 ∆33 =      -3       7      0      = 12;

0         -1    0

Рассчитаем контурные токи:

I11= ∆11/∆= 363,36/325,2192= 1,117 A;

I22= ∆22/∆= 157,44/325,2192= 0,484 A;

I33= ∆33/∆= 12/325,2192= 0,037 A;

По найденным контурным токам определим  токи в ветвях:

I1=I11= 1,117 A;

I2=I33=0,037 A;

IАВ=I22= 0,484 A;

IАС =I11 –I22=1.117-0,484=0,633 A;

IВС= I22 -I33 = 0,484-0,037=0,447 А.

Рассчитаем частичные токи в ветвях от ЭДС Е2.

Для этого рассчитаем схему рис. 2.

Частичные токи в ветвях определим по МКТ.

I11(R501+R3) – I22 R3 – I33 *0= E2;

-I11* R3 + I22 (R1+R2 +R3) – I33 R3=0;

-I11*0- I22 *R2 + I33 (R401 +R2)=0;

I11*131,2 – I22 *10 – I33 *0= 30;          I11*13,12 – I22 *1 – I33 *0= 3;

-I11*10 + I22 * 70- I33 * 30=0;            -I11*1 + I22 * 7- I33 * 3=0;

-I11*0- I22 *30 + I33 *48,8=0;            -I11*0- I22 *3 + I33 *4,88=0;

13,12   -1    0   3  -1  0

 ∆ =  -1        7     -3     =325,2192;      ∆11=  0  7   -3     =75,48;

0        -3   4,88                                    0  -3  4,88

13,12   3     0                                        13,12    -1   3

 ∆22 = -1        0     -3     =14,64;            ∆33=  -1          7    0   =9;

0        0    4,88                                     0           -3   0

I11= ∆11/∆= 75,48/325,2192= 0,232 A;

I22= ∆22/∆= 14,64/325,2192= 0,045 A;

I33= ∆33/∆= 9/325,2192= 0,028 A;

Частичные токи в ветвях:

I1=I33= 0,028 A;

I2=I22=0,232 A;

IАВ=I22= 0,045 A;

IАС =I22 – I33=0,045-0,028=0,017 A;

IВС= I11 – I22 = 0,232 – 0,045=0,187 А.

Сделаем наложение решений и получим действительные в ветвях.

I1= I1– I1= 1,117-0,028=1,09 A;

I2= I2– I2= 0,232-0,037=1,09 A;

IАВ= IАВ– IАВ =0,045-0,484=-0,439 A;

IАС = IАС– IАС =0,633+0,017=0,65 A;

IВС= IВС– IВС = 0,447 + 0,187=0,634 А.

Как видим метод наложения показал одинаковые результаты с методом узловых потенциалов.

Дадим схему активного двухполюсника по отклонению

    к R1

Рассчитаем Rвх и UBA методом эквивалентного генератора

В схеме активного двухполюсника (эквивалентного

генератора)  Еэг = UBA = Uхх   ,   а    Uэг = Rвх     ,   где

Uхх   и  Rвх    –  напряжение холостого хода и входное сопротивление относительно зажимов В-А выделенной (разомкнутой) ветви с R1.

Определим Uхх.

Uхх= I*ВС * R – I*AС * R2

Определим  I*AС и I*ВС

I*AС=E1/R401+R2 = 40/48.8=0.82 A;

I*BС=E2/R502+R3 = 30/131.2=0.23 A;  Подставим найденные токи в (2).

Uхх= UВА= Еэг=0,23*10-0,82*30=-22,3 В.

Определим  Rвх = Rэг.R7 = R3 *R502/ R3+R502=10*121,2/10+121,2=9,238 Ом.

Rвх = R6 +R7=11,56+9,238=20,798 Ом.

Согласно метода эквивалентного генератора из схемы рис. 1

IAB= Eэг/ Rэг+R1=-22,3 / 20,798+30= – 0,439 А.

Результат полностью совпал с теми, что мы имели в методе узловых потенциалов и методе наложения.

«Baribar.kz-тің» Telegram-каналына жазыламыз!