Анықтама. Пікірлер логикасының тілі алфавиттен – , логикалық операциялардан – , қосымша символдардан – D тұрады.
арқылы әріптер жиынын белгілейміз. Әріптер латын алфавитініңбас әріптері арқылы жазылады – , қажет болған жағдайда индекстерді қолдануымызға болады: және т.с.с. Сонымен .
Ù немесе & (коньюнкция), Ú (дизьюнкция), ® (импликация), Ø (терістеу),
« (эквиваленттілік)– логикалық амалдар жиыны.
( (сол жақша), ) (оңжақша), , (үтір) – қосымша символдар жиыны.
Анықтама. Әріптердің, логикалық амалдардың және қосымша символдардыңкез келген шектелген тізбегін сөз деп атаймыз. Егертеңдігі орындалса, ондасөзі бос сөз деп аталады және бұл сөз ешбір символдан тұрмайды деп есептейміз. Ал a жәнесөздері үшінболатындайжәнесөздері табылса,сөзі a сөзініңішкі сөзі деп аталады.мүмкіндігі сақталғандықтан, әр сөз өзініңішкі сөзі болады.
Әрбір тілдегідей, алфавит символдарынан құрылған сөздердіңмағыналысы да мағынасызы да кездесуі мүмкін. Мағыналы сөздер біздің пәніміздіңнегізгі зерттеу нысандарын құрады. Оларды пікір деп атаймыз. Осы пікір ұғымыныңдәл анықтамасын берейік.
Анықтама. Ақиқат немесе жалған мәндердіңбірін ғана қабылдайтын хабарлас сөйлемді пікір деп атаймыз. Пікірлердіжиынынан алынған әріптермен белгілейміз.
Мысалы, “Бүгін күн жылы” хабарлас сөйлемі пікір болмайды, себебі бұл сөйлемніңақиқат немесе жалған болатынын анықтау үшін оқиғаның уақыты пенөтетін орны белгілі болуы керек. Ал “Алматыда 2008 жылдың10 шілдесінде күн ашық және ыстық болды“сөйлемініңақиқат немесе жалған екендігіне әрқашан көз жеткізуімізге болады. Енді қарапайым пікірлерден күрделі пікірлерді, яғни пәніміздің мағыналы сөйлемдерін алу тәртібін көрсететін анықтаманы берейік.
Анықтама.
- Әрбір әріп формула болады.
- Егер формулалар болса, ондажәнесөздері де формулалар болады.
- Кез келген формула 1-ші және 2-ші ережелерді ақарлы рет қолдану арқылы ғана құрылады.
Формулаларды кіші грек әріптерімен: j, y, q, … белгілейміз.
Мысал. Төмендегі өрнектер пікірлер логикасының сөздеріболады.
Мұндағы алғашқы екі сөз формула болмайды, ал үшіншісі пікірлер логикасының формуласы.
Формуланың анықтамасы – олардың құрылуы бойынша индукциялық анықтама, сондықтан бұл анықтама формулалардың қасиеттерін формуланың күрделілігі бойынша индукцияны қолдану жолымен дәлелеуге мүмкіндік береді.
Келісім: Формуладағы жақшалар санын кеміту мақсатымен, логикалық амалдардың орындалу реттерін тағайындайық. Алдымен Ø (терістеу), екінші кезекте Ù (коньюкция) және Ú (дизьюнкция), үшінші кезекте ® (импликация), ең соңынан « (эквиваленттілік) орындалады деп келіселік. Кәдімгі алгебрадағы сияқты, бұл келісім формулаларды жазуды анықтаумен бірге, үйрене келе оның ұғымдылығын да арттырады. Мысалы,формуласыннемесе шатасуға жол бермеу үшін кейбір жақшаларды сақтасақ, онытүрінде жазуға болады.
Анықтама. Өзі де формула болатын берілген формуланың ішкі сөзін ішкі формула дейміз.
Енді формулалардыңмағынасына көңіл аударалық. Әрбір пікір не ақиқат, не жалған мән қабылдауға тиіс. Ал кез келген формуланың ақиқаттық мәні – құрамындағы қарапайым пікірлердің ақиқаттық мәндерімен толық анықталады. Сондықтан формулалардыңақиқаттық мәнін анықтау үшін, алдымен ақиқаттықфункцияұғымын енгіземіз.
Анықтама.әріптері берілсін. Кез келген n функциясы ақиқаттық функция деп аталады.әріптерінің n функциясы бойынша бейнелерінің тізбегін ақиқаттық мәндердіңорналасуы деп айтамыз.
Төмендегі индукциялық анықтама – ақиқаттық ұғымын бүкіл пікірлер логикасыныңформулалар жиынына ұлғайтуға мүмкіндікбереді.
Анықтама. j формуласында кездесетін әріптерболғанда, кез келген n функциясын ақиқаттық функция (немесе интерпретация) деп айттық. Осы функцияға сәйкес j формуласының ақиқаттық мәнін (Белгілеуі: (j)) келесі тәртіппен анықтаймыз.
- jболса, онда (j) = (A1)
- Егер j = y Ù q, онда (j) = а Û (y) = а және (j) = а
- Егер j=Øy болса, онда (j) = а Û (y) = ж
- Егер j = y Ú q , онда (j) = ж Û (y) = ж немесе (j) = ж
- Егер j = y ® q , онда (j) = ж Û (y) = а және (q) = ж
Осы анықтаманы төмендегідей кестеге жинақтауға болады.
| А | В | ØА | АÙВ | АÚВ | А®В |
| а | а | ж | а | а | а |
| а | ж | ж | ж | а | ж |
| ж | а | а | ж | а | а |
| ж | ж | а | ж | ж | а |
Мысал. ((Ø(АÙØВ)ÙВ)®А) формуласыныңақиқаттықкестесін құрайық.
| А | В | (АÙØВ) | Ø(АÙØВ) | Ø(АÙØВ)ÙВ | (Ø(АÙØВ)ÙВ)®А |
| а | а | ж | А | а | а |
| а | ж | а | Ж | ж | а |
| ж | а | ж | А | а | ж |
| ж | ж | ж | А | ж | а |
Көпшілік жағдайда формуланың ақиқаттық мәнін ақиқаттық кестені құрмай, төмендегі ережелерді пайдаланып анықтау тиімді.
І. Коньюнкция ережеcі. Коньюнкция ақиқат болуы үшін, ондағы әрбір коньюнкция мүшесі (конъюнкт ) ақиқат болуы қажетті және жеткілікті.
ІІ. Дизьюнкция ережесі. Дизьюнкция жалған болуы үшін, ондағы әрбір дизьюнкция мүшесі (дизъюнкт) жалған болуы қажетті және жеткілікті.
импликациясындағыформуласы импликацияның себебі, алформуласы салдары деп аталады.
ІІІ. Импликация ережесі. Импликация жалған болуы үшін оның себебі ақиқат, салдары жалған болуы қажетті және жеткілікті. Бұл ережені басқаша жолмен тағайындауға болады. Импликация ақиқат болуы үшін себебі жалған немесе салдары ақиқат болуы қажетті және жеткілікті.
Осы ережелерді пайдаланып, логикалық амалдардың ақиқаттық кестесін қысқаша былай толтыруға болады.
| А | В | ØА | АÙВ | АÚВ | А®В |
| а | а | ж | а | ||
| а | ж | ж | ж | ||
| ж | а | ||||
| ж | ж | ж |
Мұндағы бос орындар келтірілген ақиқаттық мәндерге қарама-қарсы мәндермен толтырылған деп есептейміз. Келтірілген ақиқаттық кестелердің ішіндегі импликацияның ж®ж=а, ж®а=а және а®ж=ж нәтижелері дүдәмал көрінуі мүмкін. Мысалы, егер 2=1 болса, онда неге 2´2=4 немесе 3´3=2 болуы керек деген сұрақ туады. Енді осы импликациялардың нәтижелері оның ақиқаттық кестесінің мағынасына сай екенін төмендегі мысал арқылы түсіндіріп көрейік.
Бізге 9-ға бөлінетін натурал санның 3-ке бөлінетіні белгілі. Яғни,
(x саны 9-ға бөлінеді)®(x саны 3-ке бөлінеді)
пікірі кез келген x саны үшін ақиқат пікір. Егер бұл пікірде x=8 деп алсақ, импликацияның салдары мен себебі де жалған, бірақ жоғарыдғы пікір әрқашан ақиқат болатынын айттық. Ал x=6 деп алсақ, импликацияның себебі жалған, ал салдары ақиқат болады, бірақ жоғарыда айтқанымыздай импликация тұтасымен ақиқат болады.
Енді импликацияның себебі мен салдарын ауыстырсақ, пайда болған
пікірісаны қалауымызша алынған натурал сан болғанда жалған пікір. Егер =12 десек, онда қарастырып отырған импликацияның себебі ақиқат, ал салдары жалған болады. Бұл нәтиже импликацияның ақиқаттық кестесінің екінші жолы да біздің қорыту туралы табиғи түйсігімізге сай болатынын көрсетеді.